<2.6 Universalitatea haosului>
Haideți să se oprim puțin și să analizăm înformațiile principale pe care le avem până acum
Ne-am uitat la diagrama logaritmică
ca să vedem ce înseamnă haosul ca fenomen,
ceea ce înseamnă un comportament ce pare aleatoriu
care depinde de condițiile inițiale.
Diagrama logaritmică a reprezentat o ecuație simplă, complet deterministă
care, atunci când se repetă, poate avea un comportament aleatoriu
care este dependent (de valorile lui R).
Nu era nimic aleatoriu în ecuația pentru diagrama logaritmică
Valoarea posterioară a lui x era determinată
de valoarea anterioară a lui x.
Și totuși am văzut un comportament aparent aleatoriu
care se numește haos determinist; haosul apare într-un
sistem sau ecuație deterministă.
Ce trebuie să reținem de aici este că dacă avem de-a face cu
haos determinist, o predicție perfectă precum cea a lui Laplace privind
un univers exact determinist, este imposibilă, după cum am văzut mai devreme
chiar la nivel de principiu, deoarece nu putem ști
cu precizie valoarea condiției inițiale.
Acest rezultat negativ împreună cu mecanica cuantică a ajutat la eliminarea teoriei optimiste
din secolul al XIX-lea conform căreia universul exact de tip newtonian urma un traseu predictibil într-un mod determinist.
Care este mesajul pozitiv?
Teoria sistemelor dinamice încearcă să descopere principiile generale ale sistemelor ce se schimbă de-a lungul timpului.
Ca urmarea a muncii depuse de mulți oameni și prin studiul diagramei logaritmice
și a altor ecuașii deterministe similare s-a ajuns la niște rezultate surprinzător de profunde și
pozitive care reprezintă universalitatea haosului.
Acestea sunt caracteristici universale care se aplică la un spectru larg de sisteme haotice.
Pe scurt, deși sistemele haotice nu sunt previzibile în detaliu,
există o gamă largă de sisteme haotice carea au proprietăți universale foarte previzibile.
Haideți să vedem care sunt acestea.
Amintiți-vă de diagrama logaritmică cu bifurcație,
care ilustra traseul cu periodicitate care se dublează spre haos.
Am avut regimuri diferite de atractori
Vă amintiți atractorii la punct fix?
Și am avut regimul de atractori perioadici
Iar acesta a dus la un domeniu al haosului unde avem
ceea ce este cuoscut sub numele un”atractor haotic” -- sau un atractor necunoscut.
Observați că există niște structuri interesante care se formează în acest regim al atractorilor haotici.
există momente în care comportamentul devine din nou periodic.
Subiectul este intersant de abordat dar mult peste ce își propune să realizeze acest curs.
Avem totuși ceva intersant și surprinzător,
un tip de traseu cu periodicitate care se dublează spre haos
care apare în multe sisteme haotice.
Sistemele în care apare ”traseul cu periodicitate care se dublează spre haos” sunt cele cunoscute sub numele de
”diagrame uni-modale” sau ”diagrame cu o singură cocoașă”
Precum diagrama logaritmică la care ne uităm acum,
vedeți că parabola are o singură cocoașă.
Există multe sisteme în natură care au acest tip
de comportament. Au același traseu cu periodicitate care se dublează
spre haos. O altă diagramă care are același comportament uni-modal
este diagrama sinusoidală
Se numește ”diagramă sinusoidală” pentru că se bazează pe funcția trigonometrică sinus.
Arată astfel.
x indice (t+1) = R/4 sin din (pi x indice t)
Acum, dacă ați uitat operațiile de trigronometrie, nu vă faceți griji.
Gîndiți-vă la ecuație ca o funcție matematică care
poate fi iterată la fel ca și diagrama logaritmică
Observați că aici x nu mai reprezintă populația.
Aici avem de-a face cu funcții matematice abstracte
unde x poate fi orice atâta timp cât valoarea sa este între 0 și 1
De multe ori R/4 est scris sub forma literei grecești lambda
Am lasat R/4 pentru a păstra legătrura în continuare cu
R prezentat în diagrama logaritmică.
Gândiți-vă la ea ca o funcție specifică
pe care o vom itera.
Am ralizat un model NetLogo a diagramei sinusoidale
pe care îl puteți dowload-a de pe pagina cu materiale pentru curs.
Și puteți vedea că generează tot o parabolă,
sau o diagramă cu o singură cocoașă, ca o funcție logaritmică
și, de asemenea, are același
traseu caracteristic cu periodicitate care se dublează spre haos.
Pe pagina cu materiale pentru curs modelul se numește sinemap.nlogo
Acum ați văzut o caracteristică universală a haosului
care se aplică la diagramele uni-modale - traseul cu periodicitate care se dublează spre haos.
Dar există o altă caracterisitică universală a haosului chiar mai surprinzătoare care
care a fost descoperită în anii '70 și '80
de mai mulți oameni.
Vă voi explica în timp ce aruncăm o nouă privire la diagrama logaritmică cu bifurcație.
În anii '70 fizicianul, Mitchel Feigenbaum,
a studiat această diagramă în detaliu.
Și a măsurat, cât de precis a putut, punctele
în care au loc aceste bifurcații.
Și a descoperit că bifurcația în periadă 2 apare
când R=3,0... în perioadă 4 apare la această valoare...
... în perioadă 8 la această valoare...
... în perioadă 16 la această valoare, etc...
până când a ajuns la o valoare aproximativă de 3,569946 (urmate de alte câteva zecimale)
unde avem o perioadă infinită. Avem haos. Care nu este periodic.
Și acest punct se numește ”punctul de pornire al haosului”.
Dacă observați, aceste bifurcații devin din ce în ce mai dese
dacă schimbăm valoare lui R. Acest lucru se întâmplă de la 0,24 la 0,30
Aecesta este un interval de timp mare. Apoi apar de la 0,30 la 0,34 (și ceva)
acesta este un interval de timp mai scurt. Care devine din ce în ce mai scurt.
Feigenbaum a studiat aceste bifurcații
și a masurat viteza cu care se reduce distanța dintre ele.
Viteza de contracție a distanței dintre bifurcații este determinată de coeficientul
unei distanțe
împărțit la distanța până la următoarea bifurcație
și coeficientul distanței
dintre bifurcația in perioadă 2 și bifurcația în perioadă 4
împărțit la distanța dintre bifurcația în 4
și bifurcația în perioadă 8 ș.a.m.d.
Fiecare dintre aceste coeficiente măsoară rata
cu care se micșorează aceste bifurcații.
Haideți să studiem aceste coeficiente din punct de vedere matematic.
Așa arată.
Primul coeficient este distanța dintre bifurcația în perioadă 2 și
bifurcația în perioadă 4. Asta înseamnă R2 - R1
împărțită la distanța dintre bifurcația în perioadă 4 și bifurcația în perioadă 8.
Ok. avem 4,7514 etc. care este prima estimare
a ratei cu care se micșorează distanța dintre bifurcații.
Ok. Acum putem să mergem la următorul set unde avem distanța dintre
bifurcația în perioadă 8 și bifurcația în perioadă 16
Avem 4,656 etc. Și continuăm procesul...
Feigenbaum a realizat acest lucru folosind un calculator de birou și apoi un computer mai rapid,
și a descoperit, cum facem și noi -- că pe masură ce crește valoarea lui R - numărul tinde
să atingă valoarea de 4,6692016 (urmat de câteva decimale).
În termeni matematici, aceasta este limita deoarece n se apropie de infinit,
unde avem R n+1 minus Rn supra R n+2 minus R n+1.
Dacă nu sunteți familiar cu limitele, nu vă faceți griji.
Uitați-vă la aceste exemple și veți vedea că,
pe măsură ce crește numărul de bifurcații, ne apropiem din ce în ce mai mult de această valoare.
Cu alte cuvinte, fiecare bifurcație apare mai repede decât cea anterioară.
Aceast valoare a fost descoperită de Feigenbaum
și acum este cunoscută sub numele de ”constanta lui Feigenbaum”
pentru că, în mod uimitor, el nu doar că a descoperit acest lucru prin mijloace matematice
după ce a observat fenomenul
(a pus la punct și o teorie prin care a demonstrat că acesta este un adevăr matematic)
a mai demonstrat că orice diagramă uni-modală sau diagramă cu o cocoașă
precum diagrama logaritmică și diagrama sinusoidală
au aceași valoare pentru acastă rată.
Acest număr este o constantă universală pentru sistemele haotice care au diagrame cu o singură cocoașă.
Acest număr a fost observat în experimente
care au inclus sisteme formate de fluide, circuite electrice, lasere, reacții chimice etc.
Un alt lucru uimitor este
că în același timp cu Feigenbaum
o altă echipă de cercetători condusă de matematicienii francezi Pierre Collet și Charles Tresser cercetau același lucru
fără să aibă vre-o legătură cu Feigenbaum
Și această descoperire în comun este denumită uneori
Teoria lui Feigenbaum, Collet și Tresser.
Să recapitulăm ce am învățat în acest curs cu privire la importanța dinamicii în haos aplicată la sistemele complexe.
Poate cel mai important lucru, este că am văzut un exemplu
în care un comportament complex imprevizibil ia naștere
în sisteme cu reguli simple, deterministe, ca diagrama logaritmică.
Am vazut că teoria sistemelor dinamice ne oferă un
vocabular prin care este descris comportamentul complex utilizând termeni precum
”atractori” și ”traseul cu periodicitate care se dublează spre haos” etc.
Am văzut că există limite fundamentale
care se aplică predicțiilor detaliate cu privire la sistemele cu comportament haotic
din cauză că acestea ”depind de condițiile inițiale”.
În același timp am văzut că există proprietți universale care se aplică sistemelor haotice
Și putem spune că ele reprezintă ”ordine în haos”.