2.6 Universalidade no Caos
Vamos revisar por um minuto e fazer uma revisão da mensagem principal do que vimos até aqui
O objetivo de estudar o mapa logístico
foi de estudar o fenômeno do caos,
que aparentemente parece ser um fenômeno aleatório
com dependência sensível às condições iniciais.
O mapa logístico é uma equação simples, completamente determinística
que, quando iterada, mostra esse comportamente aparentetemente
aleatório com dependência sensível (com relação ao valor de R).
Não havia aleatoriedade na equaçao de mapa logístico
Onde o próximo valor de x era completamente determinado
a partir do valor anterior de x
E no entanto ainda observamos esse comportamento aleatório.
Isto é chamado de Caos Determinístico, onde caos surge de um
sistema ou equação completamente determinísticos.
A lição a ser aprendida aqui, é a que, se tivermos
caos determinístico, uma previsão perfeita, como no universo mecânico
e determinístico de Laplace, que vimos anteriormente, é impossível
mesmo em princípio, uma vez que não sabemos
o valor preciso da condição inicial.
Esse é um resultado profundo que, somado ao da Mecânica Quântica, ajudou a acabar com a visão
otimista e vigente no século 19 do universo mecânico de Newton, onde as trajetórias eram previsíveis de uma forma determinística.
Mas qual foi a mensagem positiva?
A teoria de Sistemas Dinâmicos é uma tentativa de descobrir os princípios gerais dos sistemas que mudam com o tempo.
Através do trabalho de muitas pessoas e do estudo do mapa logístico
e de outras equações determinísticas similares, chegou-se a resultados profundos e
positivos, que nós iremos chamar de universalidade no caos.
Ou seja, característica que são universais em um amplo conjunto de sistemas caóticos.
Em suma, embora os sistemas caóticos não são previsíveis em detalhes,
existe uma grande classe de sistemas caóticos que tem propriedades universais altamente previsíveis.
Vamos dar uma olhada neles.
Relembre nosso diagrama de bifurcação do mapa logístico,
que mostrava a rota para o caos por dobramento de período
Nós tinhamos diferentes regimes de atratores. Lembre dos nossos atratores de ponto fixo?
Tínhamos nosso regime de atrator periódico.
E isso nos levava para uma região de caos onde tínhamos
o que é chamado de atrator caótico - que também é conhecido por atrator estranho.
Observe que há algumas estruturas interessantes nesse regime de atrator caótico,
incluindo lugares onde o sistema volta a ser periódico.
Falar sobre isso é realmente interessante, mas está além do escopo deste curso em específico.
Mas há algo que é realmente supreendente e interessante
que é aquela rota para o caos por dobramento de período
que nós vemos aqui e que também aparece em muitos outros sistemas caóticos.
Esses tipos de sistemas que apresentam esse tipo de rota para o caos são chamados de
mapas unimodais ou mapas "one-humped" (de uma corcunda).
Tal como nosso mapa logístico que estamos vendo agora
você pode observar que há uma pequena corcunda na parábola
E há muitos sitemas na natureza que tem esse tipo
de comportamento. Eles todos apresentam a mesma rota para o caos
por dobramento de período. Outro mapa que mostra esse comportamento unimodal
é o chamado de mapa seno.