2.6 Universalidade no Caos
Vamos voltar e fazer um balanço da ideia principal vimos até aqui.
O propósito de ver mapa logistico
foi ilustrar o fenômeno do caos,
o que significa o comportamento aparentemente aleatório
com dependência sensível às condições iniciais.
O mapa logístico era uma equação simples, completamente determinista
que, quando reiterou, pode exibir esse tipo aparentemente aleatório
comportamento com dependência sensível (dependendo do valor de R).
Não houve aleatoriedade na equação de mapa logístico
Completamente determinado no qual será o próximo valor de x
pelo valor anterior de x;
E ainda vemos esse comportamento aparentemente aleatório
Isto é chamado de caos determinista, onde o caos surge a partir de um
sistema ou equação completamente determinista.
E a mensagem a ser aprendido aqui é que, se tivermos
caos determinístico, a previsão perfeita, a determinista de Laplace
universo mecânico, o que vimos anteriormente, é impossível,
mesmo em princípio, uma vez que não podemos saber
o valor exato da condição inicial.
É um resultado negativo que, juntamente com a mecânica quântica, ajudou a acabar com otimista visão
no século 19 de um relógio universal newtoniano que continuou ao longo de
sua trajetória previsível de forma determinística. Mas qual é a mensagem positiva?
Teoria dos sistemas dinâmicos é a tentativa de descobrir princípios gerais relativos aos sistemas que mudam ao longo do tempo.
Através do trabalho de muitas pessoas e estudando mapa logístico
e outras equações deterministas semelhantes, o resultado foi de encontrar algum igualmente surpreendente profundo e
positivo resultado que é o que nós vamos chamar universalidade no caos.
Ou seja, características que são universais em um determinado conjunto amplo de sistemas caóticos.
Em suma, enquanto os sistemas caóticos não são previsíveis em detalhes,
existe uma ampla classe de sistemas caóticos que têm propriedades universais altamente previsíveis.
Vejamos quais são.
Lembre-se de nosso mapa logístico diagrama de bifurcação,
que mostrou o período de duplicação da rota para o caos
E nós tivemos diferente, o que chamamos, regimes de atratores. Lembre-se que tivemos nossos atratores de ponto fixo?
E nós tivemos o nosso regime periódico atrator.
E isso levou a uma região de caos, onde temos
o que é chamado um atrator caótico - ou o que é também conhecido como um atrator estranho.
Note-se que há alguma estrutura interessante neste regime atrator caótico,
incluindo os lugares onde o sistema volta a ser periódica.
Falando sobre o que é realmente interessante, mas é além do escopo deste curso particular.
Mas há algo que é realmente surpreendente e interessante
e isso é que este tipo de período de duplicação da rota para o caos
que vemos aqui também aparece em muitos outros sistemas caóticos.
Os tipos de sistemas que "rota periódica para duplicação" aparece em são o que são chamados
o unimodal ou mapas de apenas uma corcova.
você pode ver que não há uma única corcunda na parábola
E há muitos desses sistemas na natureza que têm este tipo
de comportamento. Todos eles têm o mesmo período de duplicação da via
ao caos. Outro mapa que mostra que comportamento unimodal
é o chamado mapa de seno.
É o chamado mapa seno porque ele usa a função trigonométrica de seno.
Aqui está o que parece.
xt + 1 = R/4 seno de (pi xt).
Agora, se você se esqueceu de trigonometria, não se preocupe.
Basta pensar nisso como uma função matemática particular que pode
ser repetido do mesmo modo que o mapa iterado logística.
E observe aqui que o x não é mais a população.
Estamos agora no reino de funções matemáticas abstratas
onde x pode representar qualquer coisa, contanto que é entre 0 e 1.
As pessoas costumam escrever este R / 4 termo como a letra grega lambda.
Eu deixei R/4 só para manter a conexão com
a noção anterior de R no mapa logístico.
Mas pense nisso como uma função específica
vamos fazer uma iteração.
Eu tenho implementado o mapa seno como modelo NetLogo
que você pode fazer o download a partir do site em materiais de curso.
E você pode ver que ele também faz esta parábola,
ou um mapa da protuberância, tal como uma função logística
e também mostra a característica
período de duplicação da rota para o caos.
No site de materiais do curso, ele é chamado sinemap.nlogo
Então, agora nós vimos uma propriedade universal de caos
em mapas unimodal - isto é, o período de duplicação da rota para o caos
Mas há um outro, ainda mais surpreendente, a universalidade que
foi descoberta nos anos de 70 e 80
por alguns grupos diferentes de pessoas.
Vou explicar olhando de novo para o diagrama de mapa bifurcação
logística. Nos anos 70 o físico Mitchel Feigenbaum,
estudou este mapa em grande profundidade.
E mediu, com tanta precisão quanto pôde, os pontos
em que estas várias bifurcações ocorrerem.
E ele descobriu que o período de dois bifurcação aparece
em cerca de R = 3.0, período de quatro a este valor
período de 8 a este valor
período de 16 a este valor e por aí vai
até que, finalmente, a um valor de cerca de 3.569946 seguido por
algumas outras casas decimais, temos
um período de infinito. Ou seja, temos o caos. É periódico.
E esse ponto é chamado de "o início do caos".
Agora, se você notar, estes bifurcações estão chegando mais rápido
e mais rápido à medida que variam R. Então, isso vai de cerca de,24-,30
Isso é muito tempo. E então 0,30-0,34 alguma coisa,
isso é mais curto. E, em seguida, mais curto e cada vez mais curto.
Então, o que Feigenbaum fez foi que ele levou essas bifurcações
e mediu a taxa na qual a distância entre
bifurcações está encolhendo. A velocidade a que estes são apenas encolhimento é definido como a razão
entre este comprimento
dividido pelo comprimento para a próxima bifurcação
e, em seguida, a proporção de este comprimento
a partir do período de dois bifurcação para o período de quatro bifurcação
dividido pelo comprimento do tempo a partir do período de 4 bifurcação
para o período de 8 bifurcação e assim por diante.
Cada uma destas proporções é uma medida da velocidade a que
bifurcações estão encolhendo.
Vamos dar uma olhada nessas proporções matematicamente.
Isto é o que eles se parecem.
A primeira razão é a distância entre o período de 2 e
o período de 4 bifurcações. Isso é R2 - R1
dividida pela distância entre o período de 4 e o período de 8 bifurcações.
Ok que nos dá 4,7514 etc e essa é a nossa primeira estimativa de
a velocidade à qual a distância entre as bifurcações está a diminuir.
Está bem. Então, podemos ir para o próximo jogo e obter a distância
entre o período de 4, e de 8 dividido pelo período de 8, e o período de 16.
Isso dá-nos 4,656 etc. E nós continuar fazendo isso
E Feigenbaum fez isso usando apenas uma calculadora de mesa, e mais tarde um computador mais rápido,
e descobriu que, à medida que continua fazendo isso - como estas Rs ficam maior e maior - este número começa
a convergir para o valor de 4.6692016
seguido por algumas casas decimais.
E, em termos matemáticos, que é o limite quando n se aproxima do infinito
de R n + 1 menos de R n dividido por R n + 2 menos de R n + 1.
Mas se não estiver familiarizado com limites, não se preocupe.
Basta olhar para estes exemplos e você pode ver que,
à medida que aumentam o número de bifurcação, vamos chegar mais perto e mais perto deste valor.
Em outras palavras, cada nova bifurcação aparece sobre
isto é muitas vezes mais rápido do que o anterior.
sso é o que Feigenbaum encontrou.
E esse número passou a ser chamado de constante de Feigenbaum
porque, surpreendentemente, ele não só derivou isto matematicamente depois que ele observou
(ele desenvolveu toda uma teoria que iria mostrar por que isso tinha que ser verdadeiro matematicamente)
Ele também mostrou que qualquer unimodal ou apenas um mapa corcunda
como o mapa logístico ou o mapa seno
terá o mesmo valor para esta taxa.
Portanto, este número é a constante universal para sistemas caóticos com um mapas corcunda.
Este número foi também observado experimentalmente
num certo número de sistemas que vão desde o escoamento de fluido para circuitos eléctricos, lasers, reações químicas e assim por diante.
Outro fato surpreendente sobre isso é que
em quase exatamente o mesmo tempo que Feigenbaum estava realizando seus estudos, a mesma coisa foi feita por
outra equipe de pesquisa - os matemáticos franceses Pierre Collet e Charles Tresser
Eles eram completamente independentes de Feigenbaum
E esta co-descoberta é agora chamado às vezes
A teoria de Feigenbaum, Collet, Tresser.
Em resumo, vamos olhar para o que aprendemos nesta unidade quanto à importância da dinâmica no caos para sistemas complexos.
Talvez o mais importante, nós vimos um exemplo
em que o comportamento complexo, imprevisível decorre
regras determinísticas muito simples, tais como o mapa logístico.
Também vimos que a teoria de sistemas dinâmicos nos dá um
vocabulário para descrever o comportamento complexo usando termos como
"atratores" e "período de duplicação da rota para o caos", e assim por diante.
Temos visto que há limites fundamentais para detalhada
previsão em sistemas com o caos, devido à "dependência sensível às condições iniciais."
Ao mesmo tempo, temos visto que há propriedades universais de sistemas caóticos
Ao mesmo tempo, temos visto que há propriedades universais de
sistemas caóticos e poderíamos chamar isso de "ordem no caos."