...
Cofnijmy się na chwilę i przypomnijmy, co zaobserwowaliśmy dotychczas
Celem obserwacji mapy logistycznej
było zilustrowanie zjawiska chaosu
który oznacza wyglądające na losowe zachowanie
z wysoką wrażliwością na warunki początkowe
Mapa logistyczna była prostym, całkowicie deterministycznym równaniem
które, podczas iteracji, zachowywało się właśnie w losowy sposób
będąc wrażliwym na warunki początkowe
(w zależności od wartości R)
W równaniu mapy logistycznej nie było żadnej losowości
To, jaka była kolejna wartość x było całkowicie określone
przez poprzednią wartość x
A jednak obserwowaliśmy zachowanie wyglądające zupełnie losowo
Nazywamy coś takiego deterministycznym chaosem
kiedy to chaos powstaje
z całkowicie deterministycznego systemu równań
To, czego się tu możemy nauczyć to
że gdy mamy deterministyczny chaos, doskonałe przewidywanie,
deterministyczny wszechświat Laplace'a który widzieliśmy, jest niemożliwy
nawet z samej zasady, ponieważ nigdy nie znamy
precyzyjnej wartości warunków początkowych
To jest głęboko negatywny wynik, który wraz z mechaniką kwantową przyczynił się
do zmiecenia optymizmu XIXw. odnośnie do niutonowiskiego świata
który podobnie do zegara poruszał się po przewidywalnej ścieżce
Ale jaki jest pozytywny przekaz tego wszystkiego?
Teoria systemów dynamicznych jest próbą odkrycia ogólnych zasad w systemach
które zmieniają się w czasie.
Dzięki pracy wielu ludzi i badaniu mapy logistycznej
i podobnych równań deterministycznych, odkrywano zaskakującą głębię
i ogólne zasady, które dziś nazywamy uniwersalizmem w chaosie
Są to cechy, które zachowują uniwersalność w pewnej gamie systemów chaotycznych
W skrócie, podczas gdy systemy chaotyczne są nieprzewidywalne w szczegółach
to istnieje szeroka klasa takich systemów mających uniwersalne i przewidywalne własności
Przyjrzyjmy się, czym one są
Przypomnijcie sobie diagram bifurkacji dla mapy logistycznej
pokazujący droge do chaosu poprzez podwajające się okresy
Mieliśmy różne, jak to nazwaliśmy, rodzaje atraktorów
Pamiętacie, mieliśmy atraktor w ustalonym punkcie
Mieliśmy także atraktory okresowy
i dochodzimy do obszaru chaosu, gdzie mamy coś
co nazywamy atraktorem chaotycznym
zwanym również atraktorem dziwnym
Wspomnijmy, że pojawiają się interesujące struktury w tym chaotycznym zakresie
włączywszy w to miejsca, w których system ponownie zaczyna być periodyczny
Rozmowa o tym jest ciekawa, ale wykracza poza zakres tego kursu
Ale mamy tu coś, co jest rzeczywiście zaskakujące i ciekawe
i jest tym nasza droga do chaosu z podwajającym się okresem
a to, co tu widzimy pojawia się również w wielu innych systemach chaotycznych
Ten rodzaj systemów z podwajającym się okresem nazywamy
unimodalnym, lub też mapą z pojedynczym wybrzuszeniem
Podobnie jak w przypadku mapy logistycznej, na którą teraz patrzymy
możecie zobaczyć tu pojedynczy garb na paraboli
w naturze mamy mnóstwo systemów z tego rodzaju zachowaniem
Wszystkie mają tę sama regułę podwajania okresu atraktorów w drodze do chaosu
Inna mapą pokazującą takie unimodalne zachowanie
jest mapa zwana sinusową
Nazywa się tak ponieważ używa funkcji trygonometrycznej sinus
Tu widzimy jak wygląda
x(t+1) = R/4 sin(Pix(t))
Jeśli zapomnieliście trygonometrię to nie martwcie się
Myślcie po prostu o niej jako o pewnej funkcji, która może być
iterowana w taki sam sposób jak nasza mapa logistyczna
Zauważcie też, że x nie odnosi się już dłużej do populacji
Jesteśmy obecnie w zakresie abstrakcyjnych form matematycznych
gdzie x reprezentuje cokolwiek, pod warunkiem, że jest w przedziale (0;1)
Ludzie często piszą to R/4 jako grecką literę lambda
Zostawiłam to jako R/4 tylko po to, żeby zachować powiązanie
z poprzednią ideą R w mapie logistycznej
Ale myślcie o tym jako o pewnej funkcji
którą mamy zamiar iterować
Zaimplementowałam mapę sinusową jako model w NetLogo
możecie ściągnąć ją ze strony z materiałami do kursu
I widzicie, że tu również formuje się parabola
lub mapa z jednym garbem, tak jak dla funlcji logistycznej
i także widać tu
podwajającą okres drogę do chaosu
Na stronie z materiałami do kursu, plik nazywa się sinemap.nlogo
A więc widzieliśmy uniwersalna cechę chaosu
w mapach unimodalnych- jest to podwajająca okres droga do chaosu
Ale jest jeszcze jedna, bardziej zaskakująca uniwersalność
którą odkryto w latach 70tych i 80tych
przez kilka grup badaczy
Wyjaśnię ją przez przyjrzenie się logistycznej mapie bifurkacji
W latach 70tych XX wieku, fizyk Mitchel Feigenbaum
studiował tę mapę bardzo wnikliwie
I zmierzył jak tylko mógł dokładnie
punkty w których pojawiały się bifurkacje
Zauważył, że bifurkacja o okresie 2 pojawia się
przy R równym około 3,0
okres 4 przy tej wartości
okres 8 przy tej wartości
okres 16 przy tej wartości i tak dalej
aż ostatecznie, przy wartości około 3,569946 z paroma następnymi
miejscami dziesiętnymi, mamy okres równy nieskończoności
To oznacza, że mamy chaos. Jest nieokresowy
Ten punkt nazywamy początkiem chaosu
Zapewne zauważyliście, że bifurkacje zachodzą coraz szybckiej i szybciej
wraz ze zmianą wartości R. Zmiana zachodzi od 0,24 do 0,30
To długi czas
Następnie od 0,30 do 0,34 z czymś
To już krócej
Następnie jest krócej, krócej, i jeszcze krócej
To co zrobił Feigenbaum, to wziął poszczególne bifurkacje
i zmierzył tempo w jakim skraca się dystans pomiędzy bifurkacjami
To tempo zdefiniowane jest jako współczynnik
tej długości
dzielonej przez długość do następnej bifurkacji
i współczynnik tej długości
od bifurkacji okresu 2 do bifurkacji okresu 4
dzielonej przez długość od bifurkacji okresu 4 do okresu 8
i tak dalej
Każdy z tych współczynników jest miarą tempa
z jaką skracają się bifurkacje
Spójrzmy na te współczynniki matematycznie
Oto jak one wyglądają
Pierwszym z nich jest dystansem pomiędzy okresem 2 i okresem 4
To jest R2-R1
dzielonym przez odległość między okresem 4 i 8
To daje nam 4,7514 i to jest nasze pierwsze przybliżenie
tempa w jakim skraca się dystans między kolejnymi bifurkacjami
Ok. Teraz możemy przejść do następnego zbioru i obliczyć odległość
między okresem 4 do okresu 8 i podzielić przez odległość od okresu 8 do 16
To daje nam 4,656 itd.
Kontynuujemy ten proces..
Feigenbaum obliczał to używając biurkowego kalkulatora
a później szybszego komputera
i odkrył, że gdy kontynuujemy obliczenia w miarę wzrostu R
To ilorazy zaczynają dążyć do tej wartości
4,6692016
i dalej kolejne miejsca dziesiętne
W terminologii matematycznej to granica, dla n w nieskończoności
dla wyrażenia R(n+1)-R(n)/R(n+2)-R(n+1)
Jeśli nie jesteście zaznajomieni z granicami, nie martwcie się
Spójrzcie tylko na przykłady
że gdy zwiększamy liczbę bifurkacji, to jesteśmy coraz bliżej tej wartości
Innymi słowy, każda kolejna bifurkacja wydarza się
tyle razy szybciej niż poprzednia
To właśnie odkrył Feigenbaum
Liczba ta została nawet nazwana stałą Feigenbauma
ponieważ, co zadziwiajace, nie tylko on ją wyprowadził matematycznie
(rozwinął całą teorię, która miała pokazać że jest to prawdziwe matematycznie)
Również pokazał, że każda unimodalna, czy jedno grzebietowa mapa
jak mapa logistyczna, czy sinusowa
będzie miała taką sama wartość tego współczynnika
A więc liczba ta jest uniwersalną stałą systemów chaotycznych o powyższych cechach
Ta liczba została również doświadczalnie zaobserwowana
w wielu systemach jak przepływ płynów, do obwodów elektrycznych
laserów, reakcji chemicznych itp.
Kolejnym zadziwiającym faktem związanym z tym jest to
że niemal w tym samym czasie kiedy Feigenbaum prowadził badania
ten sam wynik został osiągnięty przez inny zespół badawczy
francuskiego matematyka Pieere'a Colleta oraz Charlesa Tressera
Działali oni zupełnie niezależnie od Feigenbauma
A to wspólne odkrycie jest teraz czasami zwane
Teorią Feigenbauma, Colleta, Tressera
W ramach podsumowania, spójrzmy czego się w tym wykładzie nauczyliśmy
o ważności systemów dynamicznych i chaosu w systemach złożonych
Być może najważniejsze jest, że mogliśmy zobaczyć
przykład, w którym złożone, nieprzewidywalne zachowanie
wynika z prostych, deterministycznych zasad jak w przypadku mapy logistycznej
Widzieliśmy też jak teoria systemów dynamicznych,
daje nam nowe słowa do opisu złożonego zachowania za pomocą terminów:
"atraktor" oraz "podwajająca okres droga do chaosu" itd.
Widzieliśmy, że są fundamentalne ograniczenia dla dokładnego
przewidywania w systemach opartych na chaosie
z powodu "wrażliwości na warunki początkowe"
W tym samym czasie widzieliśmy, że systemy chaotyczne mają uniwersalne cechy
i przez to możemy mówić o "porządku w chaosie"