2.6 Universalità nel caos
Facciamo un passo indietro e facciamo il punto su quanto abbiamo visto finora.
Il motivo per cui abbiamo utilizzato la mappa logistica
era di illustrare il fenomeno chiamato caos,
che significa comportamento apparentemente casuale
che dipende in modo sensibile alle condizioni iniziali.
La mappa logistica era un'equazione semplice, completamente deterministica
che, quando iterata, può mostrare questo tipo di comportamento
apparentemente casuale con sensibile dipendenza ai valori iniziali (a seconda del valore di R).
Non c'era alcuna casualità nell'equazione della mappa logistica
Il valore successivo di x è completamente determinato
dal precedente valore di x
E ancora, notiamo questo comportamento apparentemente casuale
Questo viene detto caos deterministico, dove il caos origina da
un'equazione o sistema completamente deterministico.
E il messaggio da imparare è che, se abbiamo
un caos deterministico, non è possibile una perfetta previsione,
come un orologio alla Laplace (come visto in precedenza),
neppure in principio, dal momento che non conosciamo
il valore preciso della condizione iniziale.
Questo è un risultato profondamente negativo che, al pari della meccanica quantistica, contribuì a spazzar via la visione ottimistica
del 19° secolo di un universo come un orologio newtoniano e della sua predicibilità secondo un'impostazione deterministica.
Ma qual è il messaggio positivo?
La teoria dei sistemi dinamici è il tentativo di scoprire i principi generali inerenti a sistemi che cambiano nel tempo.
Grazie al lavoro di molte persone e studiando la mappa logistica
e altre simili equazioni deterministiche, il risultato fu quello di trovare altrettanti risultati sorprendentemente profondi
e positivi che andremo a identificare col termine di universalità nel caos.
Ossia di attributi che sono universali rispetto ad una certa ampia gamma di sistemi caotici.
In breve, nonostante i sistemi caotici non siano predicibili con esattezza,
esiste un'ampia classe di sistemi caotici che hanno delle proprietà universali ampiamente predicibili.
Vediamo quali sono queste proprietà.
Ricorda il diagramma di biforcazione della mappa logistica,
che mostrava il periodo di raddoppio che porta al caos
E avevamo diversi regimi di attrazione. Ricordi che avevamo attrattori a punto fisso?
E avevamo il regime ad attrattore periodico?
E questo portava alla regione detta caos dove c'erano
ciò che abbiamo chiamato attrattore caotico -- conosciuto anche col nome di attrattore strano.
Si noti che c'è un'interessante struttura nel regime dell'attratore caotico,
come quando il sistema ritorna ad essere periodico in qualche sua parte.
Si tratta di un argomento sicuramente interessante ma esula dallo scopo di questo corso.
Ma c'è qualcosa che è davvero sorprendente e interessante, cioè
questo tipo di periodo di raddoppio che porta al caos
che vediamo qui, appare anche in altri sistemi caotici.
Le tipologie di sistemi che presentano queste ramificazioni sono chiamati
mappe unimodali o ad una gobba.
Proprio come la nostra mappa logistica che stiamo vedendo in questo momento,
si può vedere che esibisce una sola gobba nella parabola
E ci sono molti sistemi simili in natura, ossia che esibiscono questo
tipo di comportamento. Essi hanno lo stesso periodo di raddoppio che porta
al caos. Un'altra mappa che mostra un comportamento unimodale
è la cosiddetta mappa seno.
E' chiamata mappa seno perché utilizza la funzione trigonometrica del seno.
Ecco com'è
x(t+1) = R/4 sin (pi x(t)).
Se avete dimenticato la trigonometria, non preoccupatevi.
Pensatela come una particolare funzione matematica che
può essere iterata nello stesso moto in cui abbiamo iterato la mappa logistica.
Si noti che x non rappresenta più una popolazione.
Ora siamo nel regno delle funzioni matematiche astratte
dove x può essere qualsiasi cosa purché vada da 0 a 1.
Spesso R/4 viene indicato con la lettera greca lambda.
Ho lasciato la notazione R diviso 4 per mantenere una connessione con
la nozione precedente di R nella mappa logistica.
Ma si pensi a questa come una funzione particolare
che si andrà ad iterare.
Ho implementato la mappa seno come un modello di NetLogo
che si può scaricare nel sito dei materiali didattici
E si può vedere che anch'esso forma questa parabola,
o mappa a une gobba, proprio come la funzione logistica
e inoltre mostra il caratteristico
periodo di raddoppio che porta al caos.
Nel sito dei materiali didattici, il file si chiama sinemap.nlogo
Quindi ora abbiamo visto una proprietà universale del caos nelle
mappe unimodali, ossia il periodo di raddoppio che porta al caos
Ma c'è un'altra universalità, che è ancora più sorprendente, che è
stata scoperta negli anni 70 e 80
da differenti gruppi di persone.
Ne parlo mostrando nuovamente il diagramma di biforcazione
della mappa logistica. Negli anni 70, il fisico Mitchel Feigenbaum
studiò questa mappa approfonditamente.
Egli misurò con la massima precisione che gli era possibile i punti
nei quali queste biforcazioni occorrono.
E trovò che la biforcazione in due avviene circa per
R = 3.0 e che la biforcazione in quattro avviene per questo valore, la
biforcazione a otto per questo valore,
a sedici per questo valore, e così via
fino a quando, finalmente, al valore approssimativo di 3.569946 sequito
da qualche altro decimale, si ottiene
una biforcazione infinita. Nel senso che abbiamo il caos. Che non è più periodico.
E questo punto si chiama inizio del caos.
Se notate, queste biforcazioni sempre diventano più veloci
al variare di R. Questo va da circa 0.24 a 0.30
E' un sacco di tempo. E poi da 0.30 fino a circa 0.34,
che è ancora più breve. E quindi diventa di volta in volta più breve.
Quindi quello che fece Feigenbaum
fu prendere queste biforcazioni
e misurare il tasso per il quale
la distanza fra biforcazioni si restringe.
Il tasso al quale queste si restringono è definito
come rapporto fra questa lunghezza
diviso per la lunghezza della prossima biforcazione
e quindi il tasso di questa lunghezza
dalla biforcazione a periodo due a quella di periodo quattro
divisa per la distanza temporale fra la biforcazione di periodo quattro
a quella di periodo otto e via così.
Ognuno di questi rapporti è una misura della velocità con cui
le biforcazioni si restringono.
Osserviamo questo rapporti in modo matematico.
Questo è come apparono.
Il primo rapporto è la distanza fra le biforcazioni del periodo 2
e quelle del periodo 4. Questo significa R2-R1
divide la distanza fra la biforcazione del periodo 4 e del periodo 8.
Ok. Questo fa 4,7514 ecc. e questa è la nostra stima del
tasso al quale la distanza fre le biforcazioni si restringe.
Ok. Ora possiamo andare al prossimo gruppo e ottenere la distanza
fra il periodo 4, periodo 8 diviso per il periodo 8, periodo 16.
Questo ci dà 4.656 ecc. E continuamo così.
Feigenbaum fece la stessa cosa con una calcolatrice, poi successivamente con un computer più veloce,
e trovò che continuando in questo modo, al crescere di R, questo numero
inizia a convergere al questo valore: 4.6692016
seguito da diversi decimali.
In termini matematici, questo è il limite per n che va all'infinito
di R(n+1) - R(n) diviso per R(n+2) - R(n+1).
Ma se non conoscete i limiti, non preoccupatevi.
Semplicemente guardate questi esempi e vedete che
al crescere del numero della biforcazione, ci si avvicina sempre di più a questo valore.
In altre parole, ogni nuova biforcazione appare all'incirca
questo tot volte più velocemente di quella precedente.
Questo è ciò che ha trovato Feigenbaum.
Ora questo numero è chiamato costante di Feigenbaum
perché non solo egli lo ha derivato matematicamente dopo averlo osservato
(ha anche sviluppato un'intera teoria che mostra come questo deve essere matematicamente vero)
egli ha anche mostrato che qualsiasi mappa unimodale
come la mappa logistica o la mappa seno
avrà lo stesso tasso.
Quindi questo numero è la costante universale per sistemi caotici derivati da mappe ad una gobba.
Questo numero è stato osservato anche sperimentalmente
in una serie di sistemi andando dai fluidi ai circuiti elettrici, laser, reazioni chimiche e così via.
Un altro fatto straordinario è che
quasi allo stesso momento in cui Feigenbaum
stava facendo le sue scoperte, la stessa cosa avveniva
da un altro team di ricerca,
quello dei matematici francesi Pierre Collet e Charles Tresser
Questi erano completamente indipendenti da Feigenbaum
Ed ora questa scoperta viene a volta chiamata
Teoria di Feigenbaum-Collet-Tresser.
Riassumendo, vediamo cosa abbiamo imparato
in questa unità
sulla dinamica dei sistemi caotici complessi.
Forse la cosa più importante è l'esempio
nel quale un comportamento complesso
e non prevedibile provvenga
da semplici regole deterministiche,
come nella mappa logistica.
Abbiamo visto anche che la teoria dei sistemi dinamici ci fornisce
di un vocabolario per descrivere comportamenti complessi utilizzando
termini come "attrattore" e "periodo di sdoppiamento che porta al caos" ecc.
Abbiamo visto che ci sono dei limiti fondamentali alla predizione
dettagliata di sitemi caotici, per via della "dipendenza sensibile alle condizioni iniziali".
Allo stesso tempo abbiamo visto che esistono delle proprietà universali di questi sistemi caotici
e lo potremmo chiamare "ordine del caos".