Universalité du chaos
Revenons en arrière une minute et faisons le bilan du message principal de ce que nous avons vu jusqu'à présent.
Le but d'observer la carte logistique
a été d'illustrer le phénomène du chaos,
autrement dit un comportement apparemment aléatoire
avec une dépendance sensible aux conditions initiales.
La carte logistique était une équation simple, entièrement déterministe
qui, une fois itérée, peut présenter ce type de comportement
apparemment aléatoire avec une dépendance sensible (dépendant de la valeur de R).
Il n'y avait pas de hasard dans l'équation de la carte logistique.
La valeur suivante de x sera complètement déterminée
par la précédente valeur de x.
Et pourtant, nous voyons ce comportement apparemment aléatoire.
C'est ce qu'on appelle le chaos déterministe, où le chaos résulte
d'un système d'équation complètement déterministe.
Et le message à apprendre ici est que, si nous avons
un chaos déterministe, une prédiction parfaite, à la manière de Laplace
avec son univers déterministe, précis comme une mécanique d'horlogerie qui, nous l'avons vu précédemment, est impossible,
même en principe, puisque nous ne pouvons pas savoir
la valeur précise de la condition initiale.
Il s'agit d'un résultat profondément négatif qui, avec la mécanique quantique, a contribué à supprimer la vision optimiste du 19ème
siècle de l'univers horloger Newtonien qui est resté dans sa trajectoire prévisible de manière déterministe.
Mais quel est le message positif?
La théorie des systèmes dynamiques est une tentative de découvrir les principes généraux relatifs aux systèmes évoluant avec le temps.
Grâce au travail de beaucoup de gens et en étudiant la carte logistique,
ainsi que d'autres équations déterministes similaires, le résultat a été de trouver également
des résultats aussi surprenants, profonds et positifs, et c'est ce que nous allons appeler l'universalité du chaos.
C'est à dire, des caractéristiques qui sont universelles à travers un large éventail de systèmes chaotiques.
En bref, alors que les systèmes chaotiques ne sont pas prévisibles en détail,
il y a une large classe de systèmes chaotiques qui ont des propriétés universelles hautement prévisibles.
Voyons de quoi il s'agit.
Rappelez-vous le schéma de notre carte logistique de bifurcation,
qui a montré la route vers le chaos par doublement de période.
Et nous avons eu différents, ce que nous appelons, régimes d'attracteurs. N'oubliez pas que nous avions nos attracteurs de point fixe.
Et nous avons eu notre régime attracteur périodique.
Et cela a conduit à une zone de chaos où nous avons
ce qu'on appelle un attracteur chaotique - ou ce qui est également connu comme un attracteur étrange.
Notez qu'il y a un certain intérêt à rechercher une structure dans ce régime attracteur chaotique,
y compris des endroits où le système redevient périodique.
Parler de ceci est vraiment intéressant, mais c'est au-delà de la portée de ce cours particulier.
Cependant il y a quelque chose qui est vraiment surprenant et intéressant
c'est que ce genre de route à doublement de période vers le chaos,
que nous voyons ici, apparaît également dans de nombreux autres systèmes chaotiques.
Les types de systèmes qui "périodiquement double la route" apparaît dans ce qu'on appelle
les cartes uni-modales ou à une bosse.
Tout comme notre carte logistique que nous étudions en ce moment,
vous pouvez voir qu'il y a une bosse unique dans la parabole.
Et il y a beaucoup de ces systèmes dans la nature qui ont ce genre
de comportement. Ils ont tous la même route par doublement de période
vers le chaos. Une autre carte qui montre ce comportement unimodal
est la carte dite sinusoïdale.
Elle est appelée carte sinusoïdale parce qu'elle utilise la fonction trigonométrique sinus.
Voilà à quoi ça ressemble.
x indice t plus 1 = R/4 sinus de (pi x indice t)
Maintenant si vous avez oublié la trigonométrie, ne vous inquiétez pas.
prenez simplement ceci comme une fonction mathématique particulière qui peut
être itérée de la même manière que nous avons itéré la carte logistique.
Et remarquez ici que x ne représente plus la population.
Nous sommes maintenant dans le domaine des fonctions mathématiques abstraites
où x peut représenter n'importe quoi entre 0 et 1.
Les gens représentent souvent ce terme R / 4 avec la lettre grecque lambda.
J'ai gardé R /4 juste pour garder le lien avec la
notion précédente de R dans la carte logistique.
Mais il suffit d'imaginer ceci comme une fonction particulière
que nous allons faire évoluer.
J'ai mis en place la carte sinus sous forme de modèle NetLogo
que vous pouvez télécharger sur le site de supports de cours.
Et vous pouvez voir également qu'il produit cette parabole,
une carte à une bosse, comme une fonction logistique
et il affiche aussi la caractéristique
de la route par doublement de période vers le chos.
Dans le site de support de cours, il est appelé sinemap.nlogo
Donc nous avons vu une propriété universelle du chaos
dans les cartes uni-modales -- c'est à dire, la route par doublement de période vers le chaos.
Mais il y a une autre, encore plus surprenante, universalité qui
qui a été découverte dans les 1970 et 1980
par un autre petit groupe de personnes.
Je l'expliquerai en observant à nouveau le diagramme de bifurcation de la carte logistique.
Or, dans les années 1970, le physicien Mitchel Feigenbaum,
a été cette carte en profondeur.
Et il a mesuré, aussi précisément que possible, les points
sur lesquels se produisent ces diverses bifurcations.
Il il a trouvé que la bifurcation de période deux apparaît
à environ R=3.0, période quatre à cette valeur
période huit à cette valeur
période seize à cette valeur et ainsi de suite
jusqu'à ce que finalement, à une valeur approximative de 3.569946 suivie de
quelques décimales, nous avons
une période infinie. Là nous avons le chaos. C'est apériodique.
Et ce point est appelé "l'apparition du chaos".
Maintenant si vous notez, ces bifurcations viennent de plus en plus
vite tandis que nous varions R. Qui passe ainsi d'environ .24 à .30
C'est une longue période. Et puis de .30 à .34 quelque chose,
c'est plus court. Et puis plus court & plus court & plus court.
Donc ce que Feigenbaum a fait a été de prendre ces bifurcations
et de mesurer la vitesse à laquelle la distance entre
les bifurcations se contracte. La vitesse de contraction est juste définie comme le ratio de
cette longueur
divisée par la longueur de la prochaine bifurcation
et puis le ratio de cette longueur
de la bifurcation de période deux vers la bifurcation de période quatre
divisée par la longueur du temps de la bifurcation de période 4
par la bifurcation de période 8 et ainsi de suite.
Chacun de ces ratios est une mesure de la vitesse à laquelle
les bifurcations se contractent.
Regardons à ces ratios de manière mathématique.
Voici à quoi ils ressemblent.
Le premier ratio est la distance entre les bifurcations de période 2 et
de période 4. C'est R2 - R1
divisé par la distance entre les bifurcation de période 4 et de période 8.
Ok ceci nous donne 4.7514 etc. et c'est notre première estimation de
de la vitesse à laquelle la distance entre les bifurcations se contracte.
Ok. Alors nous pouvons aller à la prochaine étape et prendre la distance
entre la période 4, période 8 divisée par la période 8, période 16.
Ceci nous donne 4.656 etc. Et nous continuons ainsi.
Et Feigenbaum a fait cela en utilisant juste une calculatrice de bureau et, plus tard, un ordinateur plus rapide,
et il a constaté que, comme nous continuons à le faire - que ces Rs deviennent de plus en plus en plus grands - ce nombre commence
à converger à la valeur de 4.6692016
suivi par quelques décimales.
Et en termes mathématiques, c'est la limite lorsque n tend vers l'infini,
de R n+1 moins R de n divisé par R n+2 moins R de N+1.
Mais si vous n'êtes pas familier avec les limites, ne vous inquiétez pas à ce sujet.
Regardez simplement ces exemples et vous pouvez voir,
alors que nous augmentons le nombre de bifurcations, nous nous rapprochons de plus en plus à cette valeur.
En d'autres termes, chaque nouvelle bifurcation apparaît environ
à ce nombre de fois plus rapide que la précédente.
C'est ce que Feigenbaum a trouvé.
Et ce nombre est maintenant appelé la constante de Feigenbaum
parce que, de manière surprenante, non seulement il l'a déduit mathématiquement après l'avoir observé,
(il a développé toute une théorie qui montre pourquoi cela devait être vrai mathématiquement)
il a aussi montré que toute carte uni-modale ou à une bosse
comme la carte logistique ou la carte sinus
aura la même valeur pour ce taux.
Donc, ce nombre est la constante universelle pour les systèmes chaotiques avec des cartes à une bosse.
Ce nombre a aussi été observé expérimentalement
dans un certain nombre de systèmes allant de l'écoulement des fluides, aux circuits électriques, lasers, réactions chimiques etc.
Un autre fait surprenant à ce sujet est que
presque exactement en même temps que Feigenbaum effectuait ses études, la même chose a été faite par
une autre équipe de recherche - les mathématiciens français Pierre Collet et Charles Tresser.
Ils étaient totalement indépendants de Feigenbaum
et cette découverte conjointe est maintenant appelée
la théorie de Feigenbaum, Collet et Tresser.
En résumé, revoyons ce que nous avons appris dans cette unité sur l'importance de la dynamique dans le chaos pour les systèmes complexes.
Peut-être le plus important, nous avons vu un exemple
dans lequel, un comportement imprévisible complexe résulte de
règles déterministes très simples, telles que la carte logistique.
Nous avons également vu que la théorie des systèmes dynamiques nous donne un
vocabulaire pour décrire le comportement complexe en utilisant des termes tels que
"attracteurs" et "route vers le chaos par doublement de période" etc.
Nous avons vu qu'il y a des limites fondamentales à la
prévision détaillée dans les systèmes chaotiques en raison de la "dépendance sensible aux conditions initiales".
Dans le même temps, nous avons vu qu'il y a des propriétés universelles pour les systèmes chaotiques
et nous pourrions appeler cela «l'ordre dans le chaos".