Retrocedamos por un minuto
y hagamos un balance del mensaje principal
de lo que hemos visto hasta el momento.
El propósito de mirar el mapa logístico
era ilustrar el fenómeno del caos,
lo que significa un comportamiento aparentemente aleatorio
con dependencia sensible de las condiciones iniciales.
El mapa logístico era una ecuación simple,
completamente determinista que, cuando es iterada,
puede mostrar este tipo de comportamiento aparentemente aleatorio,
con dependencia sensible, dependiente del valor de R.
No había aleatoriedad en la ecuación del mapa logístico,
determinando completamente cuál será el siguiente
valor de x por el valor previo de x.
Y sin embargo, vemos este comportamiento aparentemente aleatorio.
A ésto se llama caos determinístico,
en el que el caos surge de un sistema
o ecuación completamente determinista.
Y el mensaje que hay que aprender aquí es que,
si tenemos caos determinista, la predicción perfecta,
un universo-maquinaria de relojería determinista,
a la Laplace, que hemos visto anteriormente,
es imposible incluso en principio, ya que
no podemos conocer los valores precisos de las condiciones iniciales.
Ésto es un resultado profundamente negativo
que, junto con la mecánica cuántica, ayuda a acabar
con la visión optimista del siglo XIX
del universo-máquinaria de relojería, newtoniano,
que sigue adelante un camino predecible de forma determinista.
Pero, ¿cuál es el mensaje positivo?
La Teoría de Sistemas Dinámicos es
el intento de descubrir principios generales
respecto a sistemas que cambian con el tiempo.
A través del trabajo de mucha gente,
y estudiando los mapas logísticos
y otras ecuaciones similares deterministas,
el resultado era encontrar
resultados positivos igualmente sorprendentes y profundos,
que es lo que vamos a llamar
universalidad del caos. Ésto es,
características que son universales
a través de un amplio conjunto de sistemas caóticos.
En resumen, mientras que los sistemas caóticos no son predecibles
en detalle, existe una amplia clase de sistemas caóticos
que poseen propiedades universales altamente predecibles.
Vamos a ver cuáles son.
Recordad nuestro gráfico de bifurcación del mapa logístico,
que muestra la duplicación del periodo hacia el caos,
y teníamos diferentes, lo que llamábamos regímenes con atractores;
recordad que teníamos regímenes con atractor de punto fijo,
regímenes con atractor periódico,
y ésto conducía a un régimen de caos,
donde teníamos lo que se llama un atractor caótico,
también llamado atractor "extraño".
Notad que hay algunas estructuras que parecen interesantes
en este régimen de atractor caótico,
incluyendo lugares donde el sistema vuelve a ser periódico.
Hablar de ésto es realmente interesante,
pero va más allá del alcance de este curso en particular.
Hay algo realmente sorprendentes e interesante,
y es que esta duplicación del periodo hacia el caos, que vemos aquí,
también aparece en muchos otros sistemas caóticos.
El tipo de sistemas en los que aparece
la duplicación de periodo hacia el casos
es lo que se llama mapa unimodal o de una joroba.
Igual que nuestro mapa logístico, que estamos viendo ahora,
podeis ver que hay hay una única joroba en la parábola,
y hay muchos sistemas como éste en la naturaleza
que tienen este tipo de comportamiento;
todos ellos tienen la misma
duplicación del periodo hacia el caos.
Otro mapa que muestra comportamiento unimodal
es el llamado mapa del seno.
Se llama mapa del seno porque utiliza la función trigonométrica "seno".
Así es como funciona:
x sub(t+1) es igual a R cuartos por el seno de pi veces x subt
Si olvidásteis trigonometría, no os preocupéis,
símplemente pensad que ésta es una función matemática particular
que puede ser iterada de la misma forma que iteramos el mapa logístico.
Notad que x ya no es una población, sino que estamos
en el campo de las funciones matemáticas abstractas,
donde x puede ser cualquier cosa cuyo valor esté entre 0 y 1.
A veces se escribe este término R cuartos con la letra griega lambda,
pero he dejado esta R, como antes, para mantener la conexión
con la noción previa de R en el mapa logístico.
Pero pensad en ésto como una función particular que vamos a iterar.
He implementado el mapa del seno como un modelo NetLogo
que puedéis bajar de la página de materiales del curso.
Y podéis ver que también forma esta parábola o mapa de una joroba,
como la función logística, y también muestra la característica
duplicación del periodo hacia el caos.
En la página de materiales del curso se le llama SineMap.nlogo
Por ahora, parece que una propiedad universal
del caos en mapas unimodales es
la duplicación del periodo hacia el caos,
pero hay otra universalidad incluso más sorprendente,
que fue descubierta en los años 1970 y 1980
por varios grupos de gente.
Lo explicaré volviendo a ver el
diagrama de bifurcación del mapa logístico.
En los años 1970, el físico Mitchell Feigenbaum
estudió este mapa en gran profundidad
y midió, con tanta precisión como pudo,
los puntos en los que se producían estas bifurcaciones,
y encontró que la bifurcación del periodo 2
ocurre alrededor de R = 3.0
el periodo 4 a este valor,
el periodo 8 a este valor,
el periodo 16 a este valor, etc.
Hasta que, finalmente, a un valor aproximado de 3.569946,
seguido de algunos lugares decimales,
tenemos un periodo de infinito, es decir, tenemos caos,
es aperiódico, y a este punto se le llama
el comienzo del caos.
Ahora, si nos fijamos en estas bifurcaciones,
ocurren más y más rápido conforme variamos R.
Esto ocurre desde R aproximadamente 2.4 a 3.0,
un intervalo largo,
y después de 3.0 a 3.4 y pico,
y después más corto, y más corto, y más corto.
Lo que Feigenbaum hizo fue coger estas bifurcaciones
y midió la tasa a la que
la distancia entre bifurcaciones se va acortando.
La tasa a la que ésto se acorta se define como
el cociente entre esta longitud
dividido por la longitud hasta la siguiente bifurcación,
y después el cociente entre esta longitud,
entre los periodos de bifurcación 2 a 4,
dividido por la longitud del intervalo
entre la bifucación del periodo 4 a la bifurcación del periodo 8, etc.
Cada uno de estos cocientes es una medida
de la tasa a la que la bifurcación se va acortando.
Vamos a ver estos cocientes matemáticamente.
Ésto es lo que parece:
El primer cociente es la distancia entre las bifurcaciones del periodo 2 y 4,
es decir, R2 menos R1 dividido por
la distancia entre la bifurcación de los periodos 4 y 8, que da 4.7514 etc.
y ésta es nuestra primera estimación
de la tasa a la que la la distancia entre bifurcaciones se acorta.
OK. Podemos ir al siguiente bloque y medir
la distancia entre la bifurcación del periodo 4 y periodo 8
dividido por la distancia de bifurcación entre periodo 8 y periodo 16,
que da 4.656 etc., y continuamos haciendo ésto...
y Feigenbaum hizo ésto con una calculadora de mesa,
y después con un ordenador más rápido,
y encontró que, conforme continuaba, y la R es cada vez mayor,
este número comienza a converger a este valor
4.6692016, seguido de más decimales.
En términos matemáticos, ésto es el límite cuando n tiende a infinito
de R sub (n+1) menos R sub n dividido por la diferencia de R sub (n+2) y R sub (n+1)
Pero si no estáis familiarizado con los límites,
no os preocupéis por ésto, sólo mirad estos ejemplos y
podéis ver que conforme aumentamos el número de bifurcación,
encontramos un valor cada vez más próximo a este valor.
En otras palabras, cada nueva bifurcación aparece alrededor de este
número de veces más rápido que la previa.
Ésto es lo que encontró Feigenbaum,
y a este número se le ha acabado llamando constante de Feigenbaum,
porque, sorprendentemente, no sólo Feigenbaum derivó este número
matemáticamente, tras observarlo y desarrollar toda la teoría,
que como he mostrado tiene que ser matemáticamente correcto,
sino que también mostró que cualquier mapa unimodal con una joroba,
como el mapa logístico o el mapa del seno,
tendrá el mismo valor para esta tasa,
así que este número es una constante universal
para sistemas caóticos con mapas de una joroba.
Este número también ha sido
observado experimentalmente en diversos sistemas,
desde dinámica de fluídos a circuitos eléctricos,
láseres, reacciones químicas, etc.
Otro hecho sorprendente es que casi al mismo tiempo que
Feigenbaum desarrollaba sus estudios,
lo mismo fue realizado por otro equipo de investigación,
los matemáticos franceses Pierre Collet y Charles Tresser.
Fueron completamente independientes de Feigenbaum,
y su co-descubrimiento es ahora denominado a veces
la teoría de Feigenbaum-Collet-Tresser.
Resumiendo, vamos a ver lo que hemos aprendido en esta unidad
respecto a la significación de la dinámica y el caos en sistemas complejos.
Quizá lo más importante, hemos visto un ejemplo en el que
un comportamiento complejo e impredecible surge
a partir de reglas muy simples y deterministas,
tales como el mapa logístico.
También hemos visto que la Teoría de Sistemas Dinámicos
nos ofrece un vocabulario para describir el comportamiento complejo,
usando términos tales como atractores,
duplicación del periodo hacia el caos, etc.
Hemos visto que existe un límite fundamental
en la predicción detallada en sistemas con caos,
debido a la dependencia sensitiva de las condiciones iniciales.
Al mismo tiempo, hemos visto que hay propiedades universales
de los sistemas caóticos, y podemos
llamar a ésto orden en el caos