silent- Einführung
Lassen Sie uns einen Schritt zurück für eine Minute und eine Bestandsaufnahme der Nachrichten von dem, was wir bisher gesehen haben .
Der Zweck der Blick auf die logistische Abbildung
war , um das Phänomen des Chaos illustrieren ,
was bedeutet, scheinbar zufälliges Verhalten
mit empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen .
Die logistische Karte war eine einfache , komplett deterministischen Gleichung
dass , wenn wiederholt , können diese Art von scheinbar zufälligen angezeigt
Verhalten bei empfindlichen Abhängigkeit ( Abhängigkeit von dem Wert von R) .
Es war kein Zufall in der logistischen Gleichung Karte
Vollständig bestimmt , was der nächste Wert von X wird
von dem vorherigen Wert von x
Und doch sehen wir diese scheinbar zufälliges Verhalten
Dies wird als deterministisches Chaos , wo Chaos entsteht aus einer
vollständig deterministisches System oder -Gleichung.
Und die Botschaft , hier zu lernen ist, dass , wenn wir
deterministisches Chaos , perfekt Vorhersage , a la Laplace- deterministische
Uhrwerk-Universum , die wir bereits gesehen haben , ist nicht möglich ,
einmal im Prinzip , da wir nicht wissen können
Der genaue Wert der Ausgangszustand .
Dies ist eine tiefgreifende negative Ergebnis , das , zusammen mit der Quantenmechanik , half wischen Sie die optimistische 19.
Blick auf das Uhrwerk Newtonschen Universum Jahrhundert , die gehen zusammen in seiner vorhersehbaren Pfad in einem deterministische Weise gehalten .
Aber was ist die positive Nachricht ?
Theorie dynamischer Systeme ist der Versuch, allgemeine Grundsätze für Systeme, die im Laufe der Zeit ändern, zu entdecken.
Durch die Arbeit von vielen Menschen und dem Studium Logistik Karte
und andere ähnliche deterministischen Gleichungen , das Ergebnis war eine ebenso überraschend tiefgründig zu finden und zu
positive Ergebnisse auf, was wir auf Universalität im Chaos nennen .
Das heißt, Eigenschaften, die universell über eine gewisse breite Palette von chaotischen Systemen sind .
Kurz gesagt, während chaotische Systeme sind nicht vorhersehbar im Detail ,
Es ist eine breite Klasse von chaotischen Systemen, die in hohem Maße vorhersehbar universellen Eigenschaften.
Schauen wir uns an, was diese sind.
Erinnern an unsere Logistik Karte Bifurkationsdiagramm ,
die den Zeitraum verdoppelt Weg zum Chaos zeigte
Und wir hatten verschiedene , nennen wir , Regime von Attraktoren . Angemeldet hatten wir unseren festen Punkt Attraktoren ?
Und wir hatten unseren regelmäßigen Attraktor Regime
Und dies führte zu einem Bereich des Chaos wo wir
was heißt eine chaotische Attraktor - oder , was auch als eine seltsame Attraktor bekannt
Beachten Sie, dass es einige interessant aussehende Struktur in dieser chaotischen Attraktor Regime ,
einschließlich der Orte , wo das System geht zurück auf periodisch ist .
Apropos , das ist wirklich interessant, aber es würde den Rahmen dieses besonderen Kurs ist .
Aber es gibt etwas, das wirklich überraschend und interessant ist
und das ist, dass diese Art der Zeitraum verdoppelt Weg zum Chaos
dass wir hier sehen, erscheint auch in vielen anderen chaotischen Systemen .
Die Arten von Systemen, die " periodischen Weg zu verdoppeln " erscheint in sind, was genannt werden
Die unimodale oder einem buckligen Karten .
Genau wie unsere logistischen Karte , die wir bei der Suche gerade jetzt,
Sie sehen , dass es einen einzigen Buckel in der Parabel
Und es gibt viele solche Systeme in der Natur , die diese Art haben
Verhalten . Sie alle haben den gleichen Zeitraum verdoppelt Route
Chaos . Eine weitere Karte , die zeigt , dass unimodale Verhalten
ist die sogenannte Sinus Karte .
Es heißt die Sinus Karte , weil es die trigonometrische Funktion von Sinus verwendet .
Hier ist , wie es aussieht .
x Unter t plus 1 = R / 4 Sünde (pi x Unter t) .
Nun, wenn Sie Trigonometrie vergessen haben, keine Sorge.
Man denke nur an diese als eine besondere mathematische Funktion, kann
in der gleichen Weise, dass wir wiederholt die logistische Karte wiederholt werden .
Und beachten Sie , dass die hier x nicht für Bevölkerung mehr ertragen .
Wir sind jetzt im Bereich der abstrakten mathematischen Funktionen
wobei x für alles, solange es zwischen 0 und 1 stehen .
Oft schreibe diesen R / 4 Amtszeit als dem griechischen Buchstaben Lambda .
Ich habe es als R über 4 links , nur um die Verbindung mit den zu halten
früheren Vorstellung von R in der logistischen Karte .
Aber nur daran zu denken , wie eine bestimmte Funktion
dass wir gehen zu durchlaufen .
Ich habe die Karte als Sinus NetLogo Modell implementiert
die Sie von der Website herunterladen Kursmaterialien
Und Sie können sehen , dass es auch dieses bildet Parabel ,
oder ein Buckel Karte , als logistische Funktion
und sie zeigt auch das Merkmal
Zeitraum verdoppelt Weg zum Chaos.
In der Kursmaterialien Website , es sinemap.nlogo genannt
So, jetzt haben wir eine universelle Eigenschaft des Chaos gesehen
in unimodale Karten - ist, dass der Zeitraum verdoppelt Weg zum Chaos
Aber es ist eine andere , noch überraschender , Universalität , dass
wurde in den 1970er und 1980er Jahren entdeckt
von einigen verschiedenen Gruppen von Leuten .
Ich werde es mit der Suche wieder bei der logistischen Abbildung Bifurkation erklären
Diagramm . Jetzt in den 1970er Jahren , der Physiker Mitchel Feigenbaum ,
studierte diese Karte in großer Tiefe .
Und er gemessen, wie genau , wie er konnte , die Punkte
bei dem diese verschiedenen Verzweigungen auftreten .
Und er fand , dass der Zeitraum zwei Gabelung erscheint
bei etwa R = 3,0 , höchstens vier bei diesem Wert
Zeitraum acht bei diesem Wert
Zeitraum sechzehn auf diesem Wert und so weiter
bis schließlich auf einen Wert von ungefähr 3.569946 gefolgt von
einige andere Dezimalstellen , haben wir
eine Zeit der Unendlichkeit. Das heißt, wir haben Chaos. Es ist aperiodischen .
Und dieser Punkt wird als " der Beginn des Chaos. "
Nun, wenn Sie bemerken , diese Verzweigungen werden schneller kommen
und schneller als wir variieren R. Also das geht von etwa 0,24 bis 0,30
Das ist eine lange Zeit. Und dann 0,30-0,34 etwas ,
das ist kürzer. Und dann kürzer und kürzer und dann dann kürzer.
Also, was tat, war Feigenbaum , diese Verzweigungen nahm er
Er maß die Geschwindigkeit, mit der der Abstand zwischen
Gabelungen schrumpft. Die Rate, mit der diese schrumpft nur als das Verhältnis definiert,
diese Länge
geteilt durch die Länge an der nächsten Gabelung
und dann das Verhältnis dieser Länge
aus der Zeit zwei Gabelung auf den Zeitraum vier Bifurkation
von der Periode 4 Bifurkation geteilt durch die Länge der Zeit,
der Periode 8 Bifurkation und so weiter.
Jedes dieser Verhältnisse ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der
die Gabelungen schrumpfen .
Werfen wir einen Blick auf diese Verhältnisse mathematisch .
Dies ist , wie sie aussehen .
Das erste Verhältnis ist der Abstand zwischen dem Punkt 2 und
der Zeitraum 4 Gabelungen . Das ist R2 - R1
zwischen der Periode 4 und den Zeitraum vom 8. Verzweigungen geteilt durch den Abstand .
Ok das gibt uns 4,7514 usw. und das ist unsere erste Schätzung
die Rate, mit der der Abstand zwischen den Gabelungen schrumpft.
Ok . Dann können wir mit der nächsten Gruppe zu gehen und den Abstand
zwischen der Periode 4, 8 Zeitraum dividiert durch Periode 8, 16 Zeitraum .
Das gibt uns 4.656 etc. Und wir halten, dass
Feigenbaum und tat dies mit nur einem Desktop- Rechner, und später einen schnelleren Computer ,
und fand, dass , wie wir weiter machen - da diese Rs immer größer und größer und größer - diese Zahl beginnt
konvergieren auf diesen Wert - 4. 6.692.016
gefolgt von einigen Nachkommastellen.
Und mathematisch , das ist die Grenze , wenn n gegen unendlich
R n + 1 minus R von n geteilt durch R n + 2 minus R n + 1 .
Aber wenn Sie nicht mit Grenzen vertraut sind, nicht Sorgen machen.
Gerade in diesen Beispielen , und Sie können sehen, dass,
wie wir die Gabelung Zahl zu erhöhen , werden wir näher und näher an diesem Wert zu erhalten.
In anderen Worten wird jede neue Verzweigung zu
dies viele Male schneller als die vorherige.
Das ist, was Feigenbaum gefunden.
Und diese Zahl ist jetzt als Feigenbaum -Konstante geworden
denn erstaunlicherweise nicht nur, dass er dies mathematisch ableiten , nachdem er beobachtet sie
( entwickelte er eine ganze Theorie , die zeigen würde , warum diese musste wahr sein mathematisch )
er zeigte auch, dass jede unimodale oder einem buckligen Karte
wie der Logistik Karte oder der Sinus Karte
haben den gleichen Wert für dieses Rate .
Also diese Zahl ist die universelle Konstante für chaotische Systeme mit einem buckligen Karten .
Diese Zahl wurde auch experimentell beobachtet
in einer Anzahl von Systemen , die von Fluidströmung zu elektrischen Schaltungen , Laser, chemische Reaktionen und so weiter.
Eine weitere erstaunliche Tatsache dabei ist, dass
bei fast genau zur selben Zeit, Feigenbaum seine Studien der Durchführung wurde die gleiche Sache gemacht durch
Ein weiteres Forschungsteam- die Französisch Mathematiker Pierre Collet und Charles Tresser
Sie waren völlig unabhängig von Feigenbaum
Und diese Zusammenarbeit Entdeckung ist nun manchmal auch
Der Feigenbaum , Collet, Tresser Theorie .
Zusammenfassend sehen wir uns an, was wir in dieser Einheit , um die Bedeutung der Dynamik im Chaos für komplexe Systeme gelernt haben.
Vielleicht am wichtigsten ist , haben wir ein Beispiel gesehen
in dem komplexen , unvorhersehbaren Verhalten ergibt sich aus
sehr einfache deterministischen Regeln , wie die logistische Abbildung .
Wir haben auch gesehen, dass Theorie dynamischer Systeme gibt uns einen
Vokabular zur Beschreibung von komplexen Verhalten mit Begriffen wie
" Attraktoren " und " Periodenverdopplung Weg zum Chaos " und so weiter.
Wir haben gesehen, dass es wesentliche Einschränkungen detaillierte
Vorhersage in Systemen mit Chaos wegen " empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen . "
Gleichzeitig haben wir gesehen, dass es universelle Eigenschaften chaotischer Systeme
und wir könnten dieses " Ordnung im Chaos " nennen.