现在我们把R的值增加到3.1
情况将会变得有所不同
好，现在我会让函数迭代几次
你看到的函数将
不再停留在一个固定的值上
而将在两个不同的值之间来回交替
当x(t) = 0.558时，x(t+1)=0.7646
现在如果我再次点击按钮”go“，他们的取值就会互换
并且这个过程会一直持续下去
这便是周期为2的周期性吸引子
因为它在两个数值间反复重复，所以周期为2
现在我要给你定义一个新术语
”状态“ (State)
这个例子中，系统的状态被定义为
一个与x(t)和x(t+1)有关的值，也就是现在图上的一个点
这就是系统的一个状态
如果你观察图上的这个点，你就会发现
这个系统在两个不同的状态间不断交替
所以我们说这是一个周期为2的吸引子
现在，如果我将R的值增加到3.2
准备，运行 如果我一直点击运行按钮
我们将会再次看到一个
相同类型的周期性变化
但是图上交替的两点的值
与之前R等于3.1下的值有所不同
所以当R等于3.2时，
这个系统拥有与之前相同的动态系统
都是周期为2的周期性动态系统
但是两个交替状态所取得值
与R等于3.1的情况不同
现在让R等于3.50
现在我们将会看到一种截然不同的现象
当系统稳定下来后
我们将会看到
一个周期性振动，不过这一次
这个振动发生在四个不同状态，而不是之前我们所见到的两个状态
让我们来看看我们能不能再蓝色圆点上看到这个现象
一，二，三，四
函数在不断重复
所以这是一个周期为4的吸引子
周期与之前相比加倍了
如果你不断缓慢地增加R的取值
你会发现，在某些特定的情况下，周期会再次加倍
于是我们便得到了一个周期为8的吸引子
然后周期为16的吸引子
再之后是周期为32的吸引子
不断往复下去，直到最后
我们会发现
这个系统不再是一个周期性吸引子了
所以当我们把R增加到极值4
然后再次运行程序
现在你会发现这个系统
开始看起来非常的随机
<重复点击鼠标的声音>
如果增长率R为4
当你开始迭代这个系统时
这个系统在之后将会处于何种状态会变得非常难以预测
如果我们没有实际去
计算系统每一步迭代的结果
这个系统不会表现出任何明显而有序的规律
相反，这便是一个混沌的例子
还记得我之前说过的，
混沌意味着对初始状态的敏感依赖性
我们可以在模型 sensitivedependence.nlogo里看到这是怎样一回事
这个模型于我们之前所用的模型比较相似
不过通过描绘两个初始状态以及他们各自的动态 这个模型可以让我们看到对初始状态的敏感依耐性的具体表现
跟之前一样，我在这里把R设置为4，x0= 0.2 不过我现在将设置另一个x0，x0'
所以你可以将这当做一个新的初始状态
这个状态将与另一个初始状态一同迭代
不过他们之间并不会互相干扰
每一个都只遵循Logistics映射的规则
我把这两个值调的非常接近
x0’ 只多出了0.00001
所以当我点击”set up“时
你只在这里看到了一个红点表示x0'
还有一个代表x0的蓝色的点
不过这个蓝点被红色的点给遮住了
因为它就在红点的下面
他们几乎在相同的位置
第一次迭代的时候，我们得到的值是0.64
跟这边的值几乎是相同的
那么，让我们继续迭代 你会看到两个原点在一同移动
你仍然没法看到蓝色的原点
他们的轨迹相当混沌 不过在一定迭代步骤之后
这里仅仅16步，他们便开始分歧了
如果我继续描绘这个过程，你会发现
<反复点击鼠标的声音>
看这里的图像
蓝色和红色的图像开始呈现出截然不同的表现
并且他们之间似乎毫无关联
这个现象说明了，即使我们从两个非常相似的，几乎相等的初始状态开始
在迭代一定次数之后
这两个系统的表现
将会看起来截然不同
假设我们不知道这里有个0.00001
这在现实中很有可能发生
如果我们是想要对此系统做出预测的科学家们
那么，我们应该预测这个系统会处于这个状态还是这一个呢？
在44次迭代之后
我们没有办法判断
正如庞加莱所说的那样
“预测将变得再无可能”
这个例子的重要性非常清楚地
于1976年由生物学家Robert May在他有关Logistic映射的论文章阐释了
他说，”如此简单并且确定的公式（Logistic映射）
能够拥有看起来跟混乱的噪音一样的动态轨迹这一事实有着非常令人不安的实际意味
这说明了，类似于动物种群数量普查数据中那些看起来无规律的震荡变化
并不一定来自环境中不可预测的因素或者是取样误差
这些变化可能只是一个恒定的确定性种群数量增长关系的产物。“（也就是Logistic映射）
”反过来，在混沌状态下“
（我们的例子中，也就是R等于4的情况） ”任意接近的初始状态，在足够长时间的迭代之后，可以得出想去甚远的轨迹
这就说明了，即使我们拥有一个简单的模型
其中的各项参数都被是完全确定的
长远的预测任然是不可能的“
这正再次印证了庞加莱的话”预测将变得再无可能“
这里还有另一个对Logistic映射动态的描述
这是一个分支图(Bifurcation Diagram)
水平坐标轴表示R的数值
我们之前观察过了Logistic映射在几个特定值下的表现
数轴则表示x——不同R下系统所对应的吸引子的值
比如说，当R等于2.8的时候，迭代Logistic映射直到它到达吸引子
我们会发现其值比6略大一点
抱歉，0.6
我们还可以发现在某些特定的R的值
动态变化非常剧烈
比如说在R=3附近，动态系统从一个固定值变成了一个周期为2的吸引子
当我们继续增加R的值
我们任然会看到周期为2的吸引子，只是取值有所不同罢了
同样的，在R=3.4附近，你可以看到系统从周期2变成了周期4
这就是这四个值所表示的含义
之后便是周期8
这个分支结构将会延续下去，直到最后
在R=3.55附近，这个动态系统不再表现出周期性，变得十分的混沌
这个R的取值，我会过会告诉你们它的具体值
被称为”混沌边缘(the onset of chaos)"
我们在这个小单元中看到了
Logistic映射是如何工作的
同时它表现了所谓的”通过周期加倍进而达到混沌状态的方式“
在下一个小单元中，我们将会看到
有关这个周期加倍途径的一些令人惊讶的内容
并且我们会学到尽管诸如Logistic映射这类的混沌系统
无法被精确地预测，但他们却拥有一些共有的特性