Теперь давайте поднимем R до величины 3,1
Теперь мы увидим некоторые различия.
Хорошо. Так что я собираюсь нажать "Go" несколько раз
и, что же мы увидим, что
вместо того чтобы успокоится в фиксированной точке,
мы увидим осцилляуии
между двумя различными значениями
x с индексом t равным 0.558 и x с индексом t+1 0.7646.
Сей час если я снова нажму "Go", эти два значения переключаться.
И так далее и так далее всегда.
Это называется периодический аттрактор со значением 2.
Он называется периодическим со значением 2, потому что его значения повторяются каждые два шага.
Теперь мне нужно определить для вас другой термин.
Это термин "Состояние".
Состояние системы, в данном случае, определяется как
значение для x с индексом t и x с индексом t+1. Т. е. точка на графике.
Это состояние системы.
Так же, что можно увидеть следуя за точкой на графике.
Системы колеблется между двумя различными состояниями.
И так, это называется периодическим аттрактором с периодом 2.
Теперь, предположим, я увеличу значение R до 3.2
"Set up". "Go". И нажимаю на "Go".
Что я увижу далее
это вид колебательной динамики,
но точные значения точек осциллируют иначе
чем при предыдущем значении R.
Т. о. системы с R равным 3.2
имеет иной вид динамики, иным
видом периодической динамики с периодом два,
но точные значения этих двух состояний
осциллируют иначе чем 3.1
Сей час увеличим R до 3.5.
и нажмем "Go". И мы увидим другой вид поведения
когда система установится.
То что мы собираемся увидеть
колебания, но на этот раз
получается колебание между четверкой различных состояний системы, а не двумя.
И так, что мы можем увидеть, смотря на синюю точку.
1. 2. 3. 4.
Это повторяется снова.
Т. о. это периодический аттрактор с периодом 4.
Т. о. период удваивается.
И если вы будете увеличивать R понемногу
и мы увидим, что период удваивается снова
мы получим аттрактор с периодом 8
и мы получим аттрактор с периодом 16
мы получим аттрактор с периодом 32
и так далее и так далее пока в конце
мы не достигнем состояния, которое
больше не будет периодическим аттрактором.
И так мы видим, когда мы перейдем предел R
для случая 4. И нажимаем "Set up" и "go"
И вы увидите, что система будет
выглядеть довольно случайной.
И так, если увеличить значение до 4, то получается, что при запуске
итераций системы
она становится трудно предсказуемой,
Какое состояние системы будет
на позднем этапе времени
проходя весь набор итераций.
Так что не успокоится до любой очевидной упорядоченной картины.
Вместо этого, как выяснится это пример хаоса.
Теперь, давайте вспомним о том что я говорила о значение хаоса
Он чувствителен к начальным условиям.
Мы можем это увидеть открыв модель под названием
sensitivedependence.nlogo
Эта модель похожа на предыдущую
Она точно позволяет увидеть нам эффекты зависимости
от начальных условий. Позволяет нам задать два начальных условия и их динамику.
Так вот R = 4, x нулевое = 0,2, как раньше, но теперь у меня есть еще одно х нулевое
Простое x нулевое.
Вы можете думать о нем как о новом начальном условии
которое мы собираемся запустить одновременно
с другими начальными условиями.
Они не влияют друг на друга.
Каждое из них повинуется математике логистического отображения.
И я установила их почти равными. Разница лишь в том
что я поставила x нулевое со штрихом 1 в пятом знаке после запятой
И так, я нажму "setup"
вы точно видите где находится красная точка
которая представляет x нулевое со штрихом
и синяя точка, представляющая x нулевое.
Но синяя точка будет выше,
потому что она находится точно над красной точкой,
потому что они почти равны.
И значение равно 0.64 на первом шаге.
и здесь почти равны значения для шага 1.
Давайте нажмем "go" и мы можем увидеть продолжение путешествия двух точек.
Вы все еще не можете видеть синюю точку
на это хаотическом пути... но после некоторого числа шагов
Здесь только 16. Они начнут разделятся.
И вы можете видеть как я немного увеличу этот график
...
Посмотрим на график теперь.
Голубая точка и красная точка стартуют по-разному
и заканчивают независимо друг от друга.
Как было показано, если мы начинаем с очень похожими начальными условиями, почти одинаковыми,
после некоторого числа шагов
поведение этих различных систем
будет выглядеть очень по-разному.
Теперь представим мы не знаем что в пятом знаке была 1.
Это вполне возможно.
И мы, как ученые, попробуем предсказать поведение системы.
Мы предсказываем, что системы закончится здесь?
.Или здесь?
После 44 шагов?
Это невозможно знать, и, повторяя цитату Пуанкаре
"Предсказание становится невозможным"
Значимость этого примера указана красноречиво.
Биолого Роберт Мэй написал в 1976 статью о логистическом отображении.
тогда он сказал "Тот факт, что простое, детерминированное
уравнение (которым является логистическое отображение) может обладать динамической траекторией,
которая выглядит как случайный шум, имеет тревожные практические последствия.
Это значит, например, что вероятно неустойчивые колебания
в данных о популяции животных
не обязательно предвещает приватности
непредсказуемой среды или ошибки дескритезации.
они могут получить жестко детерминированную
связь с ростом популяции" (Это логистическое отображение).
"Кроме того, можно отметить, что в хаотическом режиме"
(в нашем случае, это было при R = 4) "сколь угодно близкие начальные условия могут привести к траекториям, которые
которые после достаточно долгого времени, расходятся широко.
Это значит, что даже если у нас есть простая модель
в которой все параметры определяются точно,.
долгосрочное прогнозирование, тем не менее невозможно."
Это хороший отголосок цитаты Пуанкаре "Предсказание становится невозможным"
Это еще одно представление динамики логистического отображения.
Это диаграмма бифуркации и вот, что она показывает.
На горизонтальной оси мы показано R
и мы видели поведение логистического отображения для нескольких его значений.
На вертикальной оси показан x - т. е. аттрактор, который достигается с помощью системы данного конкретного значения R
Например, когда мы устанавливаем R = 2,8 и повторим логистическое отображение, пока не достигнет аттрактора,
мы обнаружили, что значение, которое он достигло было немного больше, чем шесть.
К сожалению точка шесть.
Мы также видим, что при некоторых значениях R,
динамика резко меняется. Например,
около R = 3, динамические изменения от фиксированной точки до
аттрактора с периодом 2. И по мере увеличения R, мы получаем
аттрактор с периодом два, но с различными значениями
аттрактора.
Аналогично, вблизи R = 3,4, вы видите переход от периода два до периода четыре.
Это представление периода четыре.
И далее восемь.
Вы, наконец, увидите разветвленную структуру,
в окрестности R = 3,55, динамика перестает быть периодической и становятся хаотической.
Это значение R (и я скажу вам об этом чуть позже)
называется "начало хаоса."
Таким образом, мы увидели в этом разделе
как логическое отображение работает
и как он обладает, что называется "периодом удвоения на пути к хаосу."
В следующем разделе, мы увидим нечто удивительное
о специфике этого удвоения периода.
И увидим, что, несмотря на то, хаотические системы, такие как логистическое отображение
не предсказуемы подробно, есть определенные универсальные свойства, которые все они имеют.