Acum, ridicăm valoarea lui R la 3,1
și vom vedea că se întâmplă ceva ușor diferit
Ok. Fac click pe (GO) de câteva ori
și ceea ce vedem este
că în loc să se stabilizeze într-un punct fix
sistemul oscilează
între două valori diferite
când x indice t este 0,558 și x indice (t+1) este 0,7646
Acum, dacă fac click din nou pe (GO) cele două valori se schimbă între ele.
Iar acest proces se repetă în continuu.
Acesta se numește "atractor periodic" cu perioada 2
Are perioadă 2 pentru că procesul se repetă la fiecare doi timpi.
Acum trebuie să vă dau definiția unui alt termen
și anume ”starea”.
”Starea” unui sistem, în acest caz, este definită ca
o valoare specifică lui x indice t și lui x indice (t+1). Acesta este un punct pe grafic,
care este ”starea” sistemului.
Ceea ce puteți observa, dacă urmăriți un punct pe grafic, este că
sistemul oscilează între două stări diferite.
Deci, acesta este un atractor periodic cu perioada 2.
Acum, dacă modific valoarea lui R la 3,2
Fac click pe (Set up) si apoi pe (GO). Și continui să fac click pe (GO).
Ce vom vedea
este aceeași dinamică oscilantă,
doar că valorile între care oscilează punctul pe grafic
sunt diferite față de cele de dinainte când aveam altă valoare a lui R.
Deci acest sistem, care are R setat la 3,2
are același comportament,
același tip de dinamică oscilantă cu perioadă 2
dar valorile între care oscilează
sunt diferite de cele ale sistemului care avea R=3,1
Acum, haideți să setăm R la 3,50
și facem click pe (GO). Vom vedea un alt tip de comportament
când sistemul se stabilizează.
Ce observăm
este faptul că sistemul oscilează, dar,
mișcarea de oscilație se face între patru stări ale sistemului, nu două,
Haideți să vedem dacă acest lucru este ilustrat și de punctul albastru.
Unu. Doi. Trei. Patru.
Se repetă.
Acesta este un atractor periodic cu perioada 4.
Deci, perioada s-a dublat.
Și dacă repetăm procesul, ridicăm valoarea lui R încet - încet
veți vedea că după un timp perioada se va dubla din nou
și vom avea un atractor periodic cu perioada 8,
apoi un atractor periodic cu perioada 16
apoi un atractor periodic cu perioada 32
și tot așa până când în final
vom atinge o stare a sistemului când
nu vom mai avea nici un fel de atractor perioadic.
Deci, vedem acest lucru dacă ridicăm valoarea lui R extrem de mult
spre 4. Și apăsăm pe (Set up) și apoi pe (GO).
Vedeți că mișcarea sistemului
începe să pară destul de aleatorie.
Deci, dacă rata de creștere este 4, atunci
când sistemul iterează mișcarea,
devine greu de prevăzut
care va fi starea în care se va afla sistemul
într-o anume secvență temporală mai îndepărtată dacă nu rulăm sistemul
prin intregul set de mișcări care se pot repeta.
Deci sistemul nu se stabilizează într-o mișcare ordonată
ci, după cum am văzut în acest caz, acesta este un exemplu de comportament haotic.
Acum, amintiți-vă că am spus într-un curs anterior că haosul
este dependent de condițiile inițiale.
Deci haideți să vedem ce înseamnă acest lucru dacă rulăm modelul numit
sensitivedependence.nlogo
Acesta este un model similar celui anterior
doar că ne permite să vedem efectele pe care le are dependența
de condițiile inițiale permițându-ne să împlementăm două condiții inițiale și dinamica lor.
Astfel, avem R=4, x0=0,2 ca și înainte, dar acum mai am încă un x0
un x0 prim.
Vă puteți gândi la el ca o nouă condiție inițială
care va rula simultan
cu cealată condiție inițială
dar aceste două condiții nu au efect una asupra celeilalte.
Fiecare se supune principiilor matematice ale diagramei logaritmice.
Le-am setat să fie aproximativ egale. Singura diferență este că
x0' are un 1 în locul lui 0 la cea de a cincea zecimală.
Când fac click pe (Setup)
vedeți un punct roșu
care reprezintă x0'
și un punct albastru care reprezintă x0.
dar punctul albastru este ascuns
pentru că se află exact sub punctul roșu
deoarece (valorile) sunt aproape egale.
iar valoarea de aici este 0,64 pentru prima secvență temporală.
Este aproape aceași valoare cu cea de aici pentru prima scvență temporală.
Facem click pe (GO) și vedeți că cele două puncte se deplasează împreună.
Punctul albastru încă nu poate fi văzut,
în timpul comportamentului haotic... de abia după mai multe secvențe temprale,
în cazul acesta doar 16, punctele încep să se separe.
Și puteți vedea, dacă continui modelul...
... uitați-vă pe grafic aici,
punctul albastru și cel roșu au poziții foarte diferite
și nu îți mai corelază mișcările.
Experimentul ne arată că, deși la început am avut condiții inițiale similare, aproape identice
după un număr de scvențe temporale,
comportamentele celor două sisteme
vor fi foarte diferite unul față de celălalt.
Acum, să presupunem că nu știm că există un 1 în locul lui 0 la cea de a cincea zecimală.
Este un lucru cât se poate de posibil.
Iar noi suntem oameni de știință care încercăm să facem o previziune.
Vom presupune că sistemul se va opri aici?
sau aici?
după 44 de secvențe temporale?
Acest lucru este imposibil de știut iar acest fapt evidențiază supsele lui Poincare
care a afirmat că "prognoza nu mai este posibilă"
Segnificația acestui exemplu este evidențiată și
de biologul Robert May în 1976 în lucrarea sa despre diagrama loaritmică
unde afirmă ”faptul că o ecuație simplă și deterministă
(precum diagrama logaritmică) poate avea traiectorii dinamice
care pot parea ca ceva aleatoriu, are implicații practice îngrijorătoare.
Asta înseamnă că, de exemplu, niște fluctuații aleatorii
care apar în datele obținute în urma unui recensământ al unei populații animaliere
nu trebuie să fie indice neapărat niște schimbări inexplicabile
legate de un mediu imprevizibil sau niște erori în modalitatea de recoltare a mostrelor,
ele pot să apară ca urmare a unei creșteri rigide și determimiste
a populației.” (Acesta este diagrama logaritmică).
”Alternativ, se poate observa că într-un regim haotic”
(în cazul nostru, R=4) ”niște condiții ințiale aproape identice alese în mod arbitrar pot determina apariția unor traiectorii care,
după un interval de timp destul de lung, ajung sa fie divergente.
Aceasta înseamnă că, deși am putea avea un model simplu
unde toți parametrii sunt determinați în mod exact,
predicția (comportamentului) pe termen lung este imposibilă
Și acest lucru evocă spusele lui Poincare ”Predicția devine imposibilă”.
Aceasta este o altă reprezentare a dinamicii unei diagrame logaritmice
Aceasta este o diagramă cu bifurcație în care se poate vedea
pe axa orizontală R,
și am văzut comportamentul pe diagrama logaritmică pentru sisteme cu diferite valori ale lui R,
pe axa verticală avem x -- care este atractorul unde se stabilizează sistemul care are o anumită valoare a lui R.
De exemplu, dacă setăm R =2,8 și iterăm comportamentul în diagrama logaritmică până când ajunge în punctul atractor
observăm că valoarea care se atinge este ceva mai mare de 6.
Scuze, 0,6
De asemenea vedem că la anumite valori ale lui R
dinamica se schimbă brusc. De exemplu,
la valoarea aproximativă a lui R=3 dinamica se schimbă de la un punct fix la
un atractor periodic cu periadă 2. Și dacă ridicăm valoarea lui R
vom continua să avem un atractor periodic cu periadă 2 cu diferite valori ale atractorului
În mod similar, la valoarea aproximativă a lui R=3,4 veți vedea o schimbare
de un atractor periodic cu periadă 2 la un un atractor periodic cu periadă 4
Asta reprezintă aceste patru valori.
apoi se trece la un atractor periodic cu periadă 8
Vedeți cum se ramifică această structură până când, în final,
se ajunge la R=3,55 iar dinamica sistemului se schimbă din periodică în haotică.
Această valoare a lui R (vă voi explica ce înseamnă mai târziu)
se numește ”punctul de pornire al haosului.”
În acest curs am văzut
cum funcționează diagrama logaritmică
și cum ilustrează ceea ce este cunoscut sub numele de ”Traseul cu periodicitate care se dublează spre haos”
în următorul curs vom vedea ceva surprinzător
despre particularitățile acestui traseu cu periodicitate care se dublează
Și vom vedea că, sisteme haotice precum diagrama logaritmică
deși nu sunt previzibile în detaliu, au toate anumite proprietăți universale.