A teraz zwiększmy wartość R do 3,1
Zoabczymy teraz coś nieco odmiennego
Ok, klikam Go kilka razy
i to, co teraz zobaczycie
to to, że zamiast stabilizacji w jednym punkcie
widzimy oscylacje
pomiędzy dwoma różnymi wartościami
kiedy x(t)=0,558 to x(t+1)=0,7646
I teraz, jeśli będe klikała Go to dwie wartości pojawią się na zmianę
I tak dalej, tak dalej, bez końca
Nazywamy to atraktorem periodycznym
z okresem wynoszącym 2
Mówimy o okresie równym 2, ponieważ dana wartość powtarza się co dwa kroki
Teraz muszę zdefiniować dla Was jeszcze jeden termin
termin zwany "stanem"
Stan systemu, w tym przypadku, definiowany jest jako
wartość dla x(t) oraz x(t+1) To jest ten punkt na wykresie
To jest stan systemu
Także to, co widzicie na wykresie patrząc na ten punkt
to to, że system oscyluje pomiędzy dwoma różnymi stanami
Dlatego też nazywamy je atraktorem periodycznym z okresem równym 2
Teraz, załóżmy, że zwiększę R do 3,2
Klikamy Setup. Go. I klikam Go
To, co zobaczymy tym razem
jest znowu ten sam rodzaj dynamicznych oscylacji
ale punkty pomiędzy którymi oscyluje kropka
są inne niż te dla poprzedniej wartości R
A więc ten system, przy R=3,2
ma ten sam rodzaj dynamiki ten sam rodzaj
dynamiki cyklicznej z okresem 2
ale wartości pomiędzy którymi oscyluj system
są inne niż te dla R=3,1
Teraz nadajmy R wartość 3,5
Wciskamy Go. Widzimy teraz inny rodzaj zachowania systemu
do chwili jego stabilizacji
To, co zobaczymy tym razem
to oscylacja, ale tym razem
będzie to oscylacja pomiędzy czterema różnymi stanami systemu, nie dwoma
Sprawdzę, czy mogę to dojrzeć patrząc na błękitną kropkę
Jeden. Dwa. Trzy. Cztery
Powtarza się
A więc jest to atraktor okresowy z okresem równym 4
Okres nam się wydłużył dwukrotnie
I jeśli teraz zwiększalibyśmy R o małe wartości
to zauważylibyście, że w pewnym punkcie okres ponownie się podwoi
i będziemy mieli atraktor o okresie 8
a potem 16
następnie 32
i tak dalej tak dalej
aż w końcu dojdziemy do stanu
w którym nie będziemy mieli okresowego atraktora
Zobaczymy to przy R równym 4
Zrobię to teraz
To co teraz widzimy
to że system
wygląda jakby zachowywał się losowo
[powtórzenia]
Więc jeśli nasz wzrost wynosi 4
to okazuje się, że gdy iterujemy system
to przewidzenie jego stanów
staje się bardzo trudne
i de facto, żeby je poznać, musimy przejść
przez wszystkie kolejne iteracje
System nie stabilizuje się w pewnych określonych wartościach
Zamiast tego, staje się przykładem chaosu
Przypomnijmy sobie, że chaos oznacza
wrażliwość na warunki początkowe
Możemy zobaczyć, jak to działa otwierając model
o nazwie sensitivedependance.nlogo
To model podobny do naszego poprzedniego
prócz tego, że dodatkowo pozwala nam zobaczyć wrażliwość na warunki początkowe
pozwalając nam rysować wykresy dla dwóch warunków początkowych
oraz ich dynamikę
Więc mam tu R=4, x0=0,2 jak poprzednio
ale teraz mam dodatkowe x0, oraz x0 prym
Możecie na nie patrzeć jako na nowe warunki początkowe
które będą użyte w symulacji równoległej
z innymi warunkami początkowymi
która będzie przebiegać w sposób nie wpływający na drugą
Każda z nich odbywa się zgodnie z mapą logistyczną
Ustawiłam parametry niemal równe
Jedyną różnica jest to, że x0 prym
różni się od x0 na piątym miejscu po przecinku
Robię teraz Setup
Widzicie teraz, że mamy czerwoną kropkę
która przedstawia x0' (prym)
i niebieską, przedstawiającą x0
Niebieska jest ukryta
ponieważ znajduje się dokładnie pod czerwoną kropką
ponieważ wartości są niemal identyczne
Wartość 0,64 po kroku numer 1
jest niemal równa wartości dla po kroku pierwszym tutaj
Klikamy Go
i widzimy, jak te dwa punkty podążają razem
Wciąż nie widzimy niebieskiej kropki
Widzimy chaos..
ale po pewnej liczbie kroków
tu widzimy, że po 16tu, zaczynają się oddzielać
I zobaczycie
kiedy pociągnę to dalej
[klikanie]
Spójrzcie na ten wykres
Wykresy błękitny i czerwony rozchodzą się zupełnie
aż w końcy wyglądają na zupełnie nieskorelowane
To, co tu możemy zobaczyć, to że nawet jeśli zaczniemy z podobnymi wartościami
niemal identycznymi
To po pewnej liczbie kroków
zachowanie tych dwóch różnych systemów
będzie wyglądało bardzo, bardzo odmiennie
Załóżmy teraz, że nie wiedzieliśmy o tej różnicy na piątym miejscu dziesiętnym
To prawdopodobna sytuacja
I jesteśmy naukowcami, którzy próbują snuć jakieś prognozy
Cóż, czy winniśmy przewidzieć, że system dojdzie do tego stanu?
czy też tego?
po 44 krokach czasowych?
Cóż, nie ma możliwości, by to przewidzieć i pobrzmiewają tu słowa Poincare'go
który stwierdził, że "przewidywanie staje się niemożliwe"
Znaczenie tego przykładu zostało zwerbalizowane elokwentnie
przez biologa Roberta Maya w roku 1976 w jego artukule na temat mapy logistycznej
gdzie powiada: "fakt, że proste i deterministyczne równanie
(tzn. mapa logistyczna) mogą mieć dynamiczne trajektorie
które wyglądają jak losowy szum, ma niepokojące praktyczne implikacje
Oznacza, na przykład, że w oczywisty sposób nieregularne wahania
w spisie liczebności populacji zwierząt
nie muszą koniecznie świadczyć o zmienności nieprzewidywalnego środowiska
albo o błędach losowych
Mogą po prostu wynikać ze sztywnej
deterministycznej relacji wzrostu populacji (to jest mapy logistycznej)
"Alternatywnie, można zaobserwować, że w reżimie chaosu"
(w naszym wypadku, było to przy R=4)
"dowolnie bliskie wartości początkowe"
"mogą prowadzić do trajektorii, które po wystarczająco długim czasie się rozbiegają"
"Oznacza to, że nawet gdy mamy prosty model"
"w którym parametry są dokładnie określone"
"długoterminowe prognozy są i tak niemożliwe"
Słowa te brzmią jak echo Poincare'go: "Prognozy stają się niemożliwe"
To jest jeszcze jedno zobrazowanie dynamiki mapy logistycznej
To diagram bifurkacji, a oto co on przedstawia
Na osi poziomej mamy R
widzieliśmy zachowanie mapy logistycznej dla określonych wartości R
Na osi pionowej mamy x -to atraktor, do którego dąży system przy zadanym R
Na przykład, kiedy R=2,8 to po iteracji mapy logistycznej i osiągnięciu atraktora
stwierdziliśmy, że osiągnięta wartość jest nieco powyżej 6
Przepraszam, powyżej 0,6
Stwierdziliśmy także, że przy pewnej wartości R
dynamika systemu zmienia się gwałtownie
Na przykład w pobliżu R=3
dynamika zmienia się z punktu stałego
w atraktor o okresie 2
I gdy dalej podnosimy R
mamy ciągle atraktor okresowy
ale o zmieniających się wartościach
Podobnie, dla R=3,4 widzimy zmianę z okresu 2 na okres 4
To właśnie reprezentują te wartości
a potem okres zmienia sie na 8
Widzicie tą rozgałęziająca się strukturę aż ostatecznie
gdzieś przy R=3,55 dynamika przestaje być okresowa i staje się chaotyczna
Ta wartość R (powiem Wam później, czym ona jest)
nazywana jest "chaosem początkowym"
A więc w tej jednostce
widzieliśmy jak zachowuje się mapa logistyczna
i jak pokazuje ona tak zwaną "drogę do chaosu z podwojeniami okresu"
W następnej jednostce, zobaczymy coś zaskakującego
o tej "drodze podwajania okresu"
i zobaczymy, że pomimo iż systemy chaosu, podobnie jak mapy logistyczne
nie są przewidywalne w szczegółach
to jednak mają pewne uniwersalne cechy wspólne