Maintenant positionnons R à une valeur de 3.1
Maintenant nous allons observer quelque chose de légèrement différent.
Ok. Donc je fais "go" plusieurs fois
et ce que vous allez voir est
à la place d'atteindre un point fixe,
vous allez voir une oscillation
entre deux différentes valeurs
lorsque x indice t est .558 x indice (t+1) est .7646
Maintenant si je clic encore, ces deux valeurs commutent.
Et ainsi et ainsi à l'infini.
Ceci est appelé un attracteur périodique avec une période de deux.
Il est appelé période de 2 parce qu'il se répète toutes les deux étapes.
Maintenant j'ai besoin de définir un autre terme pour vous
et c'est le terme "état".
L'été du système, dans ce cas, est défini comme
une valeur de x indice t et x indice t+1. C'est un point sur le graphique.
C'est l'état du système.
Donc ce que vous pouvez voir, si vous regardez le point sur le graphique,
c'est que le système oscille entre deux états différents.
Et ceci est appelé un attracteur périodique à période deux.
Maintenant, supposons que je bouge R à 3.2
"Set up". "go". Et je continue à cliquer sur "go".
Ce que je vois
est encore, la même sorte de dynamique d'oscillation
mais les points exacts entre lesquels le point oscille
sont différents que pour la précédente valeur de R.
Donc le système, avec R égal à 3.2
a le même type de dynamique, le même
genre de dynamique périodique avec une période de deux
mais les valeurs exactes de ces deux états
entres lesquels l'oscillation se produit sont différents que pour 3.1
Maintenant mettons R à 3.50
et "Go". Et nous voyons, en fait, un autre type de comportement
quand le système finalement se stabilise.
Ce que nous voyons
est une oscillation, mais cette fois-ci
il s'avère que l'oscillation est entre quatre états différents du système, pas seulement deux.
Donc voyons si je peux le constater en regardant le point bleu
Un. Deux. Trois. Quatre.
Il se répète.
Donc c'est attracteur périodique avec une période de 4.
Donc la période a doublé.
Et, si vous aviez continué ainsi -- en changeant R par petites valeurs --
vous auriez trouvé, à un certain point, un autre doublement de la période
et nous aurions obtenu un attracteur à période 8
et puis un attracteur à période 16
et ensuite un attracteur à période 32
et ainsi de suite jusqu'à ce que finalement
nous arrivions à un état pour lequel
nous n'avons plus d'attracteur périodique.
Ainsi nous pouvons le voir lorsque nous positionnions R à un l'extrème
valeur de 4. Et je fais "set up" puis "go".
Et ce que vous voyez c'est que le système
commence par chercher de manière tout à fait aléatoire.
Donc si votre taux de croissante est de 4, il s'avère que
lorsque vous commencez l'itération du système,
il devient très difficile de prédire
l'état que le système va avoir
ultérieurement sans réellement exécuter le système
en passant par l'ensemble des itérations.
Donc il ne se stabilise pas dans un motif ordonné évident.
A la place, comme il s'avère, ceci est un exemple de chaos.
Maintenant rappelez-vous que plus tôt j'ai dit que chaos signifie
une dépendance sensible aux conditions initiales.
Donc nous pouvons voir comment ceci fonctionne en ouvrant le modèle appelé
sensitivedependence.nlogo
C'est un modèle qui est similaire au modèle précédent
excepté qu'il nous permet de voir les effets de la dépendance sensible
aux conditions initiales en nous laissant positionner deux conditions initiales et leur dynamique.
Donc ici j'ai R=4, x0=.2 comme auparavant, mais maintenant j'ai un autre x0
un x0 prime.
Donc vous pouvez considérer ceci comme une nouvelle condition initiale
qui va être exécutée simultanément
avec cette autre condition initiale bien qu'il
n'y ait pas pas d'influence entre elles.
Chacune obéit simplement aux lois mathématiques de la carte logistique.
Et je leur ai donné des valeurs presque égales. La seule différence est que
x0' as un 1 dans la cinquième décimale.
Donc quand je fais "set up"
vous constatez qu'il y a un point rouge,
qui représente ce x0'
et un point bleu, qui représente x0.
Mais le point bleu est caché
parce qu'il est exactement sous le point rouge
car ils sont presque égaux.
Et la valeur ici, .64, pour le première étape
est presque égale à la valeur pour la première étape ici.
Bien faisons "go" et vous pouvez voir les deux point bouger ensemble.
Vous ne pouvez pas encore voir le point bleu
dans ce chemin chaotique... mais après un nombre d'étapes
ici seulement seize, ils commence à se séparer.
Et comme vous pouvez le constater, quand je vais un plus loin,
Regardez le tracé ici.
Le point bleu et le point rouge commencent à être très différents
et finissent par être extrêmement non-corrélés.
Donc ce que ceci montre est que, même si nous commençons avec des conditions initiales, presque égales
après un certain nombre d'étapes,
le comportement de ces deux systèmes
paraîtra très, très différent.
Maintenant supposons que nous n'ayons pas eu connaissance de la présence d'un .1 dans la cinquième décimale.
C'est très possible.
Et nous avons, scientifiques, essayé de faire une prédiction
Bien, aurions-nous du prévoir que le système s'arrête ici?
ou s'arrête ici?
Après quarante quatre étapes?
Et bien c'est impossible à savoir et ceci fait écho à la citation de Poincaré
qui dit, "la prédiction devient impossible".
La signification de cet exemple a été exprimée de manière très éloquente
par le biologiste Rober May en 1976 dans son article sur le carte logistique
quand il dit, "le fait qu'une équation simple et déterministe
(ce qu'est la carte logistique) peut posséder des trajectoires dymamiques
qui ressemble à un bruit aléatoire, a perturbé les implications pratiques.
Ceci signifie, par exemple, que des fluctuations apparemment ératiques
dans les données de recensement d'une population animale
ne soit nécessairement présager soit la variation d'un
environnement imprévisible, ou des erreurs d’échantillonnage,
elles peuvent simplement dériver d'un déterminisme rigide
d'une relation de croissance de la population." (C'est la carte logistique).
"Alternativement, il peut être observé que dans un régime chaotique"
(dans notre cas, c'était avec R=4) "des conditions initiales arbitrairement proches peuvent conduire à des trajectoires qui,
après un temps suffisamment long, divergent largement.
Ceci signifie que, même si nous avons un modèle simple dans lequel
tous les paramètres dont déterminés exactement,
la prédiction à long terme est cependant impossible."
Et ceci est un bel écho à la citation de Poincaré "La prédiction devient impossible".
C'est encore une autre représentation de la dynamique de la carte logistique.
Voici un diagramme de bifurcation et voici ce qu'il montre.
Sur l'axe horizontal, il montre R
et nous avons examiné le comportement de la carte logistique pour plusieurs de ces valeurs,
sur l'axe vertical, il montre x - qui est l'attracteur atteint par le système avec une valeur particulière de R.
Par exemple, lorsque nous avons mis R à 2,8 et itéré la carte logistique jusqu'à ce que le système atteigne l'attracteur,
nous avons constaté que la valeur atteinte était un peu plus de six.
Pardon, point six.
Nous voyons aussi que pour certaines valeurs de R,
la dynamique change brutalement. Par exemple,
près de R = 3, la dynamique change d'un point fixe à
une période à deux attracteurs. Et comme nous augmentons R, nous obtenons encore
une période à deux attracteurs, mais avec des valeurs différentes
dans l'attracteur.
De même, près de R = 3.4, vous voyez un changement d'une période deux à une période quatre.
C'est ce que ces quatre valeurs représentent.
Et puis à la période de huit.
Vous voyez cette structure de ramification jusqu'à ce que finalement,
quelque part près de R = 3.55, la dynamique cesse d'être périodique pour devenir chaotique.
Cette valeur de R (et je vous dirai ce que c'est un peu plus tard)
est appelé «le début du chaos."
Donc, nous avons vu dans cette unité
comment la carte logistique fonctionne
et comment elle présente ce qu'on appelle "route vers le chaos par doublement de période".
Dans la prochaine unité, nous verrons quelque chose de surprenant
sur les spécificités de cette route par doublement de période.
Et vous verrez que, même si les systèmes chaotiques comme la carte logistique
ne sont pas prévisibles dans le détail, il y a certaines propriétés universelles qu'ils possèdent tous.