Τώρα ας αυξήσουμε το R στην τιμή 3,1
Τώρα θα δούμε κάτι λίγο διαφορετικό.
Εντάξει. Θα πατήσω "πάμε" αρκετές φορές
και αυτό που θα δείτε είναι
αντί να καταλήξει σε ένα σταθερό σημείο,
θα δείτε μία ταλάντωση
ανάμεσα σε δύο διαφορετικές τιμές
όταν Χτ είναι 0,558 και Χ(τ+1) είναι 0,7646
Τώρα αν πατήσω "πάμε" και πάλι, αυτές οι δύο τιμές θα ανταλαχθούν.
Και το ίδιο πάλι, και πάλι για πάντα.
Αυτό ονομάζεται περιοδικός ελκυστής με περίοδο δύο.
Είναι περίοδος δύο, γιατί επαναλαμβάνει τον εαυτό του κάθε δύο χρονικές στιγμές.
Τώρα, πρέπει να ορίσω ένα ακόμη όρο για εσάς
που είναι ο όρος "κατάσταση" (state).
Η κατάσταση του συστήματος, σε αυτήν την περίπτωση, ορίζεται ως
η τιμή του Χτ και Χ(τ+1). Αυτό είναι το σημείο σε αυτό το διάγραμμα
Αυτή είναι η κατάσταση τους συστήματος.
αυτό που μπορείται να δείτε, είναι αν παρακολουθείσεται το σημείο στην καμπύλη,
το σύστημα ταλαντώνεται μεταξύ δύο διαφορετικών καταστάσεων.
Αυτό ονομάζεται περιοδικός ελκυστής με περίοδο 2.
Τώρα, υποθέστε, ότι μεταβαίνω το R στο 3,2
"εγκαθίδρυση" και 'πάμε". Και συνεχίζω να πατάω "πάμε".
Αυτό που θα δω
είναι και πάλι, το ίδιο δυναμικό ταλάντωσης
αλλά τα ακριβή σημεία μεταξύ των οποίων η τελεία ταλαντώνεται
είναι διαφορετικά από αυτά στην προηγούμενη τιμή του R.
Άρα αυτό το σύστημα, με R στην τιμή 3,2,
έχει το ίδιο είδος δυναμικής, το ίδιο
είδος περιοδικής δυναμικής με περίοδο 2
αλλά οι ακριβές τιμές αυτών των δύο καταστάσεων
μεταξύ των οποίων ταλαντεύονται είναι διαφορετικές αυτών με R 3,1
Τώρα, ας μετακινήσουμε το R στην τιμή 3,50
και "πάμε". Και θα δούμε, μάλιστα, μία διαφορετική συμπεριφορά
όταν το σύστημα τελικά κατασταλλάξει
Αυτό που θα δούμε
είναι μία ταλάντωση, αλλά αυτή τη φορά
αποδεικνύεται, ότι η ταλάντωση είναι μεταξύ τεσσάρων διαφορετικών καταστάσεων του συστήματος, όχι δύο.
Ας κοιτάξουμε αν μπορούμε να το δούμε, βλέποντας τη μπλε τελεία.
Μία. Δύο. Τρεις. Τεσσερεις.
Επαναλαμβάνει τον εαυτό του.
Αυτός λοιπόν είναι ένας περιοδικός ελκυστής με περίοδο 4.
Άρα η περίοδος διπλασιάστηκε.
Και, αν συνεχίσετε να το κάνετε αυτό-- να αυξάνετε το R σε μικρούς βαθμούς--
θα δείτε ότι, σε κάποιο σημείο, η περίοδος θα διπλασιαστεί και πάλι
και θα έχουμε ελκυστή με περίοδο οκτώ
και μετά με περίοδο δεκαέξι
και μετά ελκυστή με περίοδο τριανταδύο
και ου το καθ' εξής, μέχρι τελικά
φτάνουμε σε ένα σημείο, όπου
δεν έχουμε πια περιοδικό ελκυστή.
Μπορούμε να το δούμε αυτό αν δώσουμε στο R την άκρα τιμή
4. "εγκαθίδρυση" και "πάμε".
Και δείτε ότι το σύστημα
αρχίζει να φαίνεται τυχαίο.
<ήχοι επαναλαμβανομένων πατημάτων>
Έτσι, αν ο ρυθμός ανάπτυξης ισοδυναμεί με 4,
αν μεταβάλλεις το σύστημα χρονικά,
γίνεται πολύ δύσκολο να προβλέψουμε
ποια θα είναι η κατάσταση του συστήματος
σε κάποια μελλοντική στιγμή, χωρίς να περάσουμε το σύστημα
από όλες τις χρονικές μεταβολές του.
Δεν καταλήγει λοιπόν σε κάποιο προφανές διατεταγμένο πρότυπο.
Εν αντιθέσει, όπως αποδυκνείεται, είναι ένα παράδειγμα χάους.
Θυμηθείται τι είπαμαι νωρίτερα ότι σημαίνει χάος
ευαίσθητη εξάρτηση στους αρχικούς όρους.
Έτσι μπορούμε να δούμε πως αυτό λειτουργεί ανοίγοντας το μοντέλο που λέγεται
sensitivedependence.nlogo
Αυτό είναι παρόμοιο με το προηγούμενό μας μοντέλο
αλλά μας επιτρέπει να δούμε τις επιπτώσεις της ευαίσθητης εξάρτησης
στους αρχικούς όρους, επιτρέπωντάς μας να σχεδιάσουμε δύο αρχικές συνθήκες και τις δυναμικές τους.
Εδώ, έχουμε R = 4 , Χο = 0,2, όπως προηγουμένως, αλλά τώρα έχουμε ένα διαφορετικό Χο
ένα τονούμενο Χο.
Μπορείτε να το διανοηθείτε σαν έναν καινούριο αρχικό όρο
που θα το τρέξουμε ταυτόχρονα
με τον άλλο αρχικο όρο, αν και
δεν αλληλοεπιρεάζονται.
Ο κάθε όρος απλά υπακούει τα μαθηματικά της λογιστικής εξίσωσης.
Και τους έθεσα σχεδόν ίσους. Διαφέρουν μόνο στ' ότι ο
Χο' έχει μία μοναδα στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο.
Έτσι όταν κάνω "εγκαθίδρυση"
θα δείτε ότι υπάρχει μία κόκκινη τελεία
που αντιπροσωπεύει το Χο'
και μία μπλε τελεία, που αντιπροσωπεύει Χο.
Αλλά η μπλέ τελεία είναι κρυμμένη
επειδή είναι ακριβώς κάτω από την κόκκινη,
όντας έχοντες σχεδόν ίσες τιμές.
Η τιμή, εδώ, 0,64, για το πρώτο χρονικό στάδιο
είναι σχεδόν ίση της τιμής για το πρώτο χρονικό στάδιο εδώ.
Ας πατήσουμε, λοιπόν, "πάμε" και θα μπορέσετε να δείτε τις δύο τελείες να ταξιδεύουν μαζί.
Δεν μπορείτε ακόμη να δείτε τη μπλε τελεία
σ' αυτό το χαοτικό τρόπο ... αλλά μετά από κάποια χρονικά διαστήματα
εδώ είναι μόλις δεκαέξι, αρχίζουν να διαχωρίζονται.
Και μπορείτε να δείτε, όταν σχεδιάσω λίγο ακόμη,
<ήχοι επαναλαμβανώμενων πατημάτων>
Δείτε το σχέδιο των συναρτήσεων εδώ.
Η μπλε και η κόκκινη συναρτήσεις αρχίζουν να είναι πολύ διαφορετικές
και καταλήγουν να είναι τελείως ασυντόνιστες
Άρα αυτό που παρουσιάζεται είναι, ότι, αν και ξεκινήσαμε με πολύ όμοιες αρχικές συνθήκες, σχεδόν ίσες
μετά απο κάποια χρονικά διαστήματα
οι συμπεριφορές αυτών των δύο συστημάτων
εμφανίζονται πολύ, μα πολύ διαφορετικές.
Τώρα, θεωρήστε, ότι δεν γνωρίζαμε, ότι διέφεραν κατά ένα εκατοντάκις χιλιοστό.
Είναι πολύ πιθανό.
Και ότι είμαστε επιστήμονες, που προσπαθούμε να κάνουμε μία πρόβλεψη
Θα μπορούσαμε να προβλέψουμε ότι το σύστημα θα κατέληγε εδώ;
ή ότι θα κατέληγε εδώ;
μετά από 44 χρονικά στάδια;
Είναι λοιπόν, απίθανο να γνωρίζουμε και αντικατοπτρίζει τη ρήση του Ποϊνακρέ
που είπε, "η πρόβλεψη καθίσταται αδύναμη."
Η σημασία αυτού του παραδείγματος, περιγράφθηκε πολύ εύλωγα
από το βιολόγο Ρόμπερτ Μέι το 1976 στην εργασία του περί της λογιστικής εξίσωσης,
όπου αναφέρει, "το γεγονός ότι η απλή και αιτιοκρατική (ντετερμινιστική)
εξίσωση (που είναι ο λογιστικός χάρτης) μπορεί και κατέχει δυναμικές τροχιές
που παρουσιάζονται ακριβώς όπως κάποιος τυχαίος θόρυβος, έχει ενοχλητικές πρακτικές επιπτώσεις.
Σημαίνει, για παράδειγμα, ότι προφανείς ασταθείς διακυμάνσεις
στα δεδομένα απογραφής ενός ζωϊκού πληθυσμού
δεν είναι κατ' ανάγκην ενδεικτικές είτε των ιδιοτροπιών ενός
απρόβλεπτου περιβάλλοντος είτε των δειγματοληπτικών σφαλμάτων,
αλλά μπορεί απλά να προέρχοναι από μία αυστηρά αιτιοκρατική
σχέση της πλυθησμιακής αύξησης." (Η οποία είναι η λογιστική απεικόνιση).
"Εναλλακτικά, θα μπορούσε να παρατηρηθεί ότι στη χαοτική κατάσταση"
(στη δική μας περίπτωση, με R = 4) "τυχαίες συγγενείς αρχικές καταστάσεις μπορούν να οδηγήσουν σε τροχιές, οι οποίες,
μετά από αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, διαφοροποιούνται ευρέως.
Αυτό σημαίνει ότι, ακόμα και όταν έχουμε ένα απλό μοντέλο στο οποίο
όλες οι παράμετροι καθωρίζονται επακριβώς,
η μακροπρόθεσμη πρόβλεψη είναι αδύνατη."
Και αυτή είναι μία ωραία υπενθύμηση της ρήσης του Ποϊνκαρέ "Η πρόβλεψη καθίσταται αδύνατη".
Αυτή είναι ακόμη μία εκπροσώπηση της δυναμικής της λογιστικής απεικόνισης.
Είναι ένα διάγραμμα διακλάδωσης και εδώ είναι τί δείχνει.
Στον άξονα του Χ, έχουμε το R
και είδαμε τη συμπεριφορά της λογιστικής απεικόνισης για αρκετές τιμές του R,
στον κάθετο άξονα, δείχνει το Χ --δηλαδή τον ελκυστή που έχει το σύστημα σε συγκεκριμένη τιμή του R.
Για παράδειγμα, όταν δώσαμε στο R την τιμή 2,8 και μεταβάλλαμε χρονικά την λογιστική απεικόνιση μέχρι που έφτασε στον ελκυστή
βρήκαμε ότι η τιμή του ελκυστή ήταν λίγο μεγαλύτερη απο έξι.
Με συγχωρείται, μηδέν κόμα έξι.
Επίσης είδαμε ότι σε συγκεκριμένες τιμές του R,
η δυναμική αλλάζει ξαφνικά. Για παράδειγμα,
γύρω στο R = 3, η δυναμική αλλάζει από ένα σταθερό σημείο σε
ελκυστή με περίοδο δύο. Και μετέπειτα, καθώς αυξάνουμε το R, πάλι έχουμε
περίοδο δύο ελκυστή, αλλά με λίγο διαφορετικές τιμές στον
ελκυστή.
Παρομοίως, κοντά στο R = 3,4, παρατηρείται μία μεταβολή από περίοδο δύο σε περίοδο τέσσερα.
Αυτό είναι τί εκπροσωπούν αυτές οι τέσσερεις τιμές.
Και μετά σε περίοδο οκτώ.
Βλέπετε αυτή τη διακλαδωτή δομή, μέχρι που τελικά,
κάπου κοντά σε R = 3,55, οι δυναμικές σταματούν να είναι περιοδικές και γίνονται χαοτικές.
Αυτή η τιμή του R (και θα σας πω τι είναι λίγο αργότερα)
αποκαλείται "η αρχή του χάους".
Είδαμε σε αυτή την ενότητα
πως λειτουργεί η λογιστική απεικόνιση
και πως εκφέρει αυτό που ονομάζεται "Διπλασιασμός περιόδου κατά τη μετάβαση στο χάος"
Στην επόμενη ενότητα θα δούμε κάτι εκπληκτικό
περί της ιδιαιτερότητας αυτής της πορείας με διπλασιασμό περιόδου.
Και θα δούμε, ότι αν και τα χαοτικά συστήματα, όπως η λογιστική απεικόνιση
δεν είναι προβλέψιμα με ακρίβεια, υπάρχουν κάποιες γενικές ιδιότητες σε όλα αυτά.