Introduzione: Il percorso "period-doubling" verso il caos
vediamo la versione di NetLogo della mappa logistica
Si trova nella pagina del materiale del corso
Ciò che NetLogo sta per fare
è proprio ciò che io ho fatto nella precedente lezione
che mostra la parabola della mappa logistica
mostra come la traiettoria dei punti
si muove lungo la parabola nel tempo
Qui posso impostare R con lo slider
e imposto il valore iniziale di x x0, così R=2, x0 è 0.2000
Qui c'è la mappa logistica
clicco set up e lui disegna la mia parabola
Qui puoi vedere che traccio x con t
versus x con (t+1)
cominciamo: x con t è 0.2
x con (t+1) è 0.32
e ogni volta che clicco go il sistema avanza di una unità di tempo
qui abbiamo tracciato x con t è 0.32 x di (t+1) è 0.4352
ed il punto si è spostato
vedi 0.32 sull'asse delle x
e 0.4352 sull'asse delle y
avanti
e avanti
e puoi vedere tutta la cosa che si ripete si itera
fino a che raggiunge un "attrattore", o "punto fisso" : 0.5
e qui puoi vedere il tracciato di X con t nel tempo
quindi questi sono due modi diversi
di visualizzare la traiettoria della mappa
ora puoi anche vedere che se cambi x0... ad es. prendiamo x0 su fino a 0.9
ebbene, 0.90285. E' abbastanza vicino. Faccio "set up".
ok, stessa parabola. Ma ora x0 inizia in un punto diverso
Ecco qua 0.9029 e il corrispondente prossimo istante è 0.1754
è questo punto blu
e facciamo go
e ancora go
si può vedere che il sistema ritorna al punto 0.5
e sta lì.
stessa cosa se cambiamo x0 tutto verso il basso, un valore molto basso qui
0.01143 ora facciamo "set up"
Molto vicino allo zero qui giù in fondo. E "go"
(si sentono i click)
clicco go di continuo. E ancora il sistema finisce al valore di 0,5 e si ferma lì.
questo 0.5 è un attrattore a punto fisso per il sistema
indipendentemente da dove parte il sistema finisce sempre al valore dell'attrattore
ora variamo il valore di R e vediamo
come la frazione di crescita (R) cambia mentre cresce
Lo cambio qui (è un po' difficile cambiarlo con precisione) .... a 2.50
specifico che un altro modo per cambiarlo con un valore preciso, è cliccarci su
correggere e dargli il valore esatto qui.
quindi ci scrivo dentro
ok, e adesso cosa succede?
fai Set up
bene stavolta la parabola è più alta
perchè ho cambiato il valore di R
cio che causala conseguenza del cambiamento di R
è che cambia l'altezza della parabola
ok. ora ad es. comincio con x0 =
qui vado a correggere
e cambio questo valore a 0.2 - ok
vado a fare ancora "set up"
ok, ora 0.2 e 0.4 e "Go"... vediamo subito il sistema portarsi a 0.6 (è il vs quiz)
E se cambio ancora x0, ad es 0.9, faccio "set up" .... vediamo cosa accade
ancora: il sistema converge verso 0.6
ma lo fa attraverso una traiettoria differente
ci va in un modo diverso
ci mette un po' di più stavolta
e ancora, se lo muovo tutto giù, veramente in basso, qui....
"set up" ...ok ora è vicino allo zero.
Faccio "go". Più volte.
Ancora, gradualmente esso va a 0.6
quindi 0.6 è il punto fisso attrattore per il sistema
con un valore differente di R In pratica,
il valore di R è determina
la dinamica complessiva del sistema
quando dico dinamica complessiva, dico
a quale tipo di attrattore, se c'è, il sistema tende
dopo un certo numero di istanti.
quindi questo sistema ha, diciamo, una dinamica ad attrattore fisso: 0.6
ok. cerchiamolo un'altra volta
poniamo R a 2.8
settiamo ancora x a 0.2
ok. "set up"
La parabola è ancora più alta.
E vediamo cosa accade.
Bene stavolta il puntino rimbalza avanti e indietro
Ci vuole un lungo tempo perché si assesti
alla fine si assesta nel punto 0.6429
Ricorda: questa è approssimazione, perché
x_t è un numero reale ed è possibile che ci siano più
spazi decimali che tagliamo arrotondando
a un certo numero di decimali.
cosicchè è possibile che possa oscillare ancora di più
se noi avessimo più decimali.
Ma alla fine lui si stabilizza
in un punto fisso.
Ma ci vuole più tempo. Questo
è uno degli effetti di alzare R... è il tempo che ci vuole per assestarsi
ad un punto fisso.
Una cosa da notare di NetLogo è
io possa andare ancora in un box di questi e
settare il numero di decimali da vedere
ed il massimo permesso è 17.