Vers le Chaos par doublement de période
Maintenant examinons une version NetLogo de la carte logistique.
C'est dans le support de cours.
Et ce que ceci va donner
est exactement ce qui s'est passé dans l'unité précédente,
qui présentait la parabole de la carte logistique,
montrant comment la trajectoire des points
évolue avec le temps.
Ici je peux définir R avec le curseur et je peux définir
la valeur initiale de x. x0, donc R égal 2, x0 égal 0.2000.
Voici la carte logistique.
Et je clique sur "set up" et il dessine ma parabole.
Et ici vous pouvez voir que je trace x indice t
contre x indice (t plus 1).
Nous commençons avec x indice t égal .2,
x indice t plus un égal .32 .
Et chaque que je clique "go", le système avance d'une étape.
Ici nous avons tracé x indice t égal .32, x indice t+1 égal .4352
et le point a évolué.
Donc vous voyez .32 sur l'axe des x ici
et .4352 sur l'axe des y.
Continuons.
Et je continue.
Et vous pouvez voir l'ensemble itérer
jusqu'à ce qu'il atteigne un attracteur au point fixe de .5.
Et you pouvez voir la trace de x indice t contre le temps ici.
Donc il y a deux moyens différents
de visualiser la trajectoire d'une carte.
Maintenant nous pouvons aussi voir que, si nous changeons x0... Prenons x0 maintenant et positionnons-le à .9 pour l'exemple.
Bien, .90285. Assez près. Je fais "set up",
OK. Même parabole, mais maintenant X0 démarre à un point différent.
Donc voici .9029 et l'étape correspondante suivant est .1754
Vous pouvez voir que c'est ce point bleu
Et c'est parti.
Et encore une fois.
Et vous pouvez voir que le système revient à .5
et y reste.
Même chose si nous changeons x0, disons, à une très petite valeur ici
0.1143. Donc nous faisons le "set up"
C'est très proche de zero ici en bas. Et c'est parti.
Je clic "go" de manière répétée. A nouveau, le système termine à une valeur de .5 et y reste.
Donc ce .5 ici est un attracteur à point fixe pour le système.
Peu importe où le système démarre, il se termine toujours à la valeur de l'attracteur.
Maintenant, nous pouvons varier notre valeur de R pour voir
comment le taux de croissante, R, change alors qu'il évolue.
Donc je vais le changer ici pour... c'est un peu délicat de le changer précisément... à 2.50
Je voudrais souligner, un autre moyen de le changer, si vous voulez avoir une valeur précise, est de faire un clic-droit,
de l'éditer et je peux lui donner la valeur exacte ici.
Donc j'entre la valeur.
Bien, maintenant que se passe-t-il?
Lancement..
Maintenant la parabole est plus haute.
Et c'est parce que j'ai changé la valeur de R.
Et le changement la valeur de R a pour conséquence
un changement de la hauteur de cette parabole.
Ok. Maintenant disons que je démarre avec x0 =
Ici je vais l'éditer
et je vais changer la valeur pour .2 . Ok
Je fais "set up" à nouveau.
Ok maintenant .2 et .4 et "go"... et nous voyons très rapidement le système atteindre .6 . C'était le questionnaire de l'unité précédente.
Et si je change x0 à nouveau, prenons .9 et quelques, faisons "set up"... Voyons ce qui se passe.
Là encore, le système converge vers .6
Mais il le fait avec une trajectoire différente.
Il y arrive par un chemin différent.
C'est un peu plus long cette fois-ci.
Et à nouveau, si je décrois ceci pour atteindre une valeur très petite ici...
"set up" ... ok maintenant c'est proche de zéro.
Je fais "go".
Encore une fois, il arrive graduellement à .6
Ainsi .6 est le point fixe attracteur de ce système
avec une valeur différente de R. Donc vous pouvez voir que
la valeur de R est réellement ce qui détermine
la dynamique ultime du système.
Et quand nous parlons de dynamique ultime, nous parlons
de ce genre d'attracteur, le cas échéant, que le système atteint
après un certain nombre d'étapes.
Ainsi le système a, disons, "une dynamique de point fixe attracteur" où le point fixe est de .6
Bien, essayons une nouvelle fois.
Mettons R à 2.8
Je mets x à nouveau à .2
Ok. "Set up".
La parabole est plus haute à nouveau.
Et regardons ce qui se passe.
Bien, cette fois vous pouvez voir... le petit point rebondir et revenir.
Il lui faut un long moment avant de se stabiliser.
Et finalement il s'arrête à ce point .6429
Rappelez-vous qu'il s'agit d'approximations parce que
x_t est un nombre réel et qu'il est possible que plusieurs
décimales aient été coupées en arrondissant
à un certain nombre de décimales.
Donc il est possible qu'il pourrait encore osciller plus
si nous avions regardé avec plus de décimales.
Mais finalement il s'est stabilisé
à un point fixe.
Mais il prend plus longtemps. C'est un des
effets de l'augmentation de ce R... c'est le temps qu'il prend pour se stabiliser
à un point fixe.
Une chose à noter à propos de NetLogo c'est que
encore une fois je peux aller dans l'une des zones de sortie et
appliquer le nombre de décimales qu'on veut voir.
Et le maximum qu'il vous permet d'avoir est dix-sept.