2.5 Διπλασιασμός περιόδου κατά τη μετάβαση στο χάος
Τώρα ας δούμε την εκδοχή του NetLogo της λογιστικής εξίσωσης.
Αυτό βρίσκεται στη σελίδα των υλικών για τη σειρά μαθημάτων (course materials).
και αυτό που θα κάνει το NetLogo
είναι ακριβώς αυτό που έκανα στην προηγούμενη ενότητα,
δηλαδή, να δείξει την παραβολική καμπύλη της λογιστικής εξίσωσης,
δείχνοντας πως τα σημεία της τροχιάς
μεταβάλλονται πάνω στην καμπύλη κατά τη διάρκεια του χρόνου.
Εδώ μπορώ να αλλάξω το R με τον ολισθητή και μπορώ να θέσω
την αρχική τιμή του Χ Χο. Έτσι το R είναι 2, Χο είναι 0,2000
Εδώ είναι η λογιστική εξίσωση.
και όταν πατάω εγκαθίδρυση (set up) σχεδιάζει την παραβολική καμπύλη.
και εδώ μπορείτε να δείτε, ότι σχεδιάζω το Χτ
έναντι του Χ(τ+1).
Αρχίζουμε με Χτ = 0,2,
Χ(τ+1) είναι ίσο με 0,32.
Και κάθε φορά που πατάω "πάμε" (Go), προωθεί το σύστημα μία χρονική στιγμή.
Εδώ σχεδιάσαμε Χτ = 0,32 και Χ(τ+1) = 0,4352
και το σημείο μετακινήθηκε.
Έτσι βλέπετε 0,32 στον άξονα του Χ εδώ
και 0,4352 στον άξονα του Υ.
"πάμε" πάλι.
και "πάμε¨ ξανά
και βλέπετε πως όλο το σύστημα μεταβάλεται χρονικά
μέχρι να φτάσει στο σταθερό σημείο ελκυστή 0,5.
και μπορείτε να δείτε τη συσχέτιση του Χτ ως προς το χρόνο ακριβώς εδώ.
αυτοί είναι οι δύο διαφορετικοί τρόποι
να απεικονίσεται την τροχιά της εξίσωσης.
Τώρα, μπορούμε επίσης να δούμε, ότι αν αλλάξουμε Χο...ας πάμε το Χο τώρα στην τιμή 0,9 για παράδειγμα.
Λοιπόν 0,90285. Σχετικά κοντά. Θα κάνω "εγκαθίδρυση" (set up).
Ωραία. Μία παραβολή, αλλά τώρα Χο αρχίζει σε διαφορετικό σημείο.
Εδώ είναι 0,9029 και η συσχετιζόμενη τιμή στο επόμενο χρονικό διάστημα είναι 0,1754
Μπορείτε λοιπόν να δείτε ότι αυτό είναι αυτό το μπλε σημείο.
Και "πάμε".
Και "πάμε" ξανά.
Και βλέπετε πως το συστημα πάει πάλι πίσω στο σημείο 0,5
και παραμένει εκεί.
Παρομοίως αν αλλάξουμε το Χο σε κάποια πιο μικρή τιμή εδώ
0,1143. Ας κάνουμε "εγκαθίδρυση" (set up)
Είναι πολύ κοντά στο μηδέν εδώ κάτω. Και "πάμε".
<ήχοι επαναλαμβανόμενων πατημάτων>
Πατάω "πάμε" επαναλαμβανόμενα. Ξανά το σύστημα καταλήγει στην τιμή 0,5 και παραμένει εκεί.
Άρα, 0,5 είναι σταθερό σημείο ελκυστής για το συστημα.
ανεξαρτήτως της αρχικής τιμής, το σύστημα πάντα καταλήγει στην τιμή του ελκυστή.
Τώρα, μορούμε να αλλάξουμε την τιμή του R και να δούμε
πως ο ρυθμός ανάπτυξης, R, αλλάζει καθώς αυξάνεται.
Λοιπόν, θα το αλλάξω εδώ...είναι λίγο δύσκολο να το αλλάξουμε με ακρίβεια...στο 2,50
Σημειώνω, ότι ένας ακόμη τρόπος για να το αλλάξουμε, αν χρειαζόμαστε μία ακριβή τιμή, είναι να το πατήσετε με το δεξί πλήκτρο του ποντικιού (Right Click),
"αλλαγή" ("edit") και μπορώ να δώσω την ακριβή τιμή εδώ.
Έτσι απλά το πληκτρολογώ.
ωραία, λοιπόν τί συμβαίνει;
"Εγκαθίδρυση" (set up)
Α, τώρα η καμπύλη είναι πιο ψηλή.
Και αυτό γιατί άλλαξα την τιμή του R
και αυτό που κάνει αυτή η αλλαγή του R είναι
να αλλάξει το ύψος της καμπύλης.
Εντάξει. Ας αρχίσουμε με μία τιμή Χο = ,ας πούμε,
εδώ θα την αλλάξω
και θα δώσω την τιμή 0,2. Εντάξει
Θα κάνω "εγκαθίδρυση" (set up) ξανά
Τώρα, 0,2 και 0,4 και "πάμε" ... και βλέπουμε ότι πολύ γρήγορα το σύστημα πάει στο 0,6. Αυτό ήταν το quiz από την προηγούμενη ενότητα.
Και αν αλλάξω το Χο ξανά, ας το κάνουμε 0,9 κάτι, κάνω "εγκαθίδρυση" ... Ας δούμε τί συμβαίνει.
Ξανά το σύστημα προσεγγείει στο 0,6
Αλλά το κάνει με διαφορετική τροχιά.
Φτάνει εκεί με διαφορετικό τρόπο.
Παίρνει περισσότερο χρόνο αυτή τη φορά.
Και ξανά, αν το μετακινήσω σε κάποια πολύ χαμηλή τιμή εδώ...
"εγκαθίδρυση" ... Εντάξει, τώρα είναι πολύ κοντά στο μηδέν.
"πάμε". <ήχοι επαναλαμβανόμενων πατημάτων>
Ξανά, σταδιακά φτάνει στο 0,6.
Άρα 0,6 είναι το σταθερό σημείο ελκυστής για αυτό το σύστημα,
με διαφορετική τιμή R. Άρα μπορείτε να δείτε, ότι
η τιμή του R είναι αυτή που καθορίζει
την ύστατη δυναμική του συστήματος.
Και όταν μιλάμε για την ύστατη δυναμική του συστήματος, μιλάμε σε
πιό είδος ελκυστή, αν υπάρχει, το σύστημα θα καταλήξει
μετά από κάποια χρονικά στάδια.
Έτσι λέμε ότι το σύστημα έχει "δυναμική σταθερού σημείου ελκυστή", όπου το σταθερό σημείο είναι 0,6.
Ωραία, ας το προσπαθήσουμε άλλη μια φορά.
Ας κάνουμε αυτό το R 2,8
και θα θέσω το χ ξανά στο 0,2
Εντάξει. "Εγκαθίδρυση"
Η παραβολική καμπύλη είναι υψηλότερη και πάλι.
Ας δούμε τί συμβαίνει
Ωραία, βλέπετε αυτή τη φορά πολύ... η μικρή τελεία μεταπηδά πίσω-μπρος
Παίρνει πολύ χρόνο να κατασταλάξει
Τελικά κατασταλλάζει στο σημείο 0,6429
Σημειώστε, ότι αυτές είναι προσεγγίσεις, επειδή
Χτ είναι ένας πραγματικός αριθμός και είναι πιθανό να υπάρχουν πολύ περισσότερα
δεκαδικά σημεία απ' αυτά που εμείς κόβουμε για να στρογγυλοπιοήσουμε την τιμή
σε περιορισμένα δεκαδικά σημεία.
Είναι λοιπόν πιθανό ότι το σύστημα μπορεί να ταλαντεύεται πολύ περισσότερο
αν βλέπαμε με περισσότερα δεκαδικά σημεία.
Αλλά τελικά, καταλήγει
σε ένα σταθερό σημείο.
Αλλά παίρνει περισσότερο χρόνο. Αυτό είναι ένα
από τα επακόλουθα της αύξησης του R ... παίρνει περισσότερο χρόνο να καταλλήξει
σε ένα σταθερό σημείο.
Μία ακόμη σημείωση για το NetLogo είναι και πάλι
μπορώ να πάω σε ένα απ΄τα εξωτερικά τετράγωνα (κουτιά) και
να θέσω τον αριθμό των δεκαδικών θέσεων που επιθυμώ.
Ο μέγιστος επιτρεπόμενος αριθμός θέσεων είναι δεκαεπτά (17).