2.5. Periodenverdopplung: der Weg ins Chaos
Wir sehen uns jetzt die NetLogo Version
der logistischen Abbildung an.
Dies ist auf der Seite mit den Kursmaterialien.
Das macht genau das,
was ich in der letzten Unterrichtseinheit gemacht habe.
Es zeigt die Parabel der logistischen Abbildung
und zeigt, wie die Bahn der Punkte
sich im Zeitverlauf
daran entlangbewegt.
Ich kann R mit dem Regler festlegen
und setze den Anfangswert für X, X0, R ist 2, X0 ist 0,2
Hier ist die logistische Abbildung
und ich klicke auf Setup und meine Parabel wird gezeichnet.
Ich zeichne X von t gegen X von (t + 1)
Am Anfang ist X von t 0,2
X von (t + 1) is 0,32
und immer, wenn ich auf Go klicke,
geht das System um einen Schritt voran
Hier zeichnen wir X von t, das ist 0,32, X von t + 1 ist 0,4352
und der Punkt hat sich bewegt.
Sie sehen hier auf der X-Achse 0,32
und 0,4352 auf der Y-Achse.
Nocheinmal Go. Und nocheinmal Go.
Sie können sehen, wie das iteriert,
bis es den Fixpunkt-Attraktor 0,5 erreicht hat.
Hier ist der Plot von X von t gegen die Zeit.
Das sind zwei verschiedene Möglichkeiten,
die Bahn der Abbildung darzustellen.
Wir sehen hier auch, dass - wenn wir X0 verändern -
wir setzen zum Beispiel X0 auf 0,9 -
naja, 0,90285, das ist nah dran, ich klicke Setup.
Dieselbe Parabel, aber jetzt beginnt X0 an einem anderen Punkt.
Hier ist 0,9029, und der nächste Schritt ist 0,1754
das ist der blaue Punkt hier
Und Go, Und noch einmal Go.
Sie sehen, das System geht zurück auf den Punkt 0,5 0,5.
Und es bleibt dort.
Auch wenn wir X0 auf einen wirklich kleinen Wert setzen,
zum Beispiel 0,01143, Setup.
Sehr nahe an der 0. Und Go.
Ich klicke mehrmals auf Go. Wieder endet das System bei 0,5 und bleibt da.
0,5 ist der Fixpunkt-Attraktor für das System.
Egal wo das System startet, es landet immer auf dem Wert des Attraktors.
Wir variieren jetzt unseren Wert für R
um zu sehen, wie die Reproduktionsrate R sich verändert.
Ich verändere das hier - es ist etwas schwierig, es präzise zu verändern - auf 2,50.
Wenn Sie den Wert ändern wollen, auf einen genauen Wert
können Sie ihn auch mit einem Rechtsklick
editiieren, ich kann hier den genauen Wert eingeben.
Ich tippe das einfach ein.
Was passiert jetzt? Setup.
Jetzt ist die Parabel steiler
weil ich den Wert für R geändert habe
Wenn man R ändert
ändert man die Höhe der Parabel
Wir beginnen jetzt mit X0 =
ich editiere den Wert
und ich ändere den Wert auf 0,2.
Ich klicke auf Setup.
0,2 und 0,4, und Go. Das System erreicht sehr schnell 0,6.
Das war das Ergebnis des letzten Quiz.
Ich ändere X0 noch einmal, auf 0,9 irgendwas, Setup ... schauen wir, was passiert.
Das System konvergiert wieder auf 0,6.
Aber auf einer anderen Bahn.
Es erreicht den Punkt auf andere Weise.
Dieses Mal dauert es länger.
Und wenn ich das hier wieder auf einen sehr kleinen Wert ändere,
Setup, jetzt ist der Wert nahe bei 0.
Go. Es kommt wieder zu 0,6.
Also ist 0,6 der Fixpunkt-Attraktor für dieses System
mit einem anderen Wert für R.
Also ist R die Variable, welche die
Dynamik des Systems bestimmt.
Und Dynamik bedeutet hier
auf welchen Attraktor konvergiert das System
wenn überhaupt das System
nach einer Reihe von Schritten konvergiert.
Das System hat also, wie wir sagen, eine Fixpunkt-Attraktor Dynamik, wobei der Fixpunkt 0,6 ist.
Wir versuchen das noch einmal.
Diese Mal ist R 2,8.
X ist wieder 0,2.
Setup.
Die Parabel ist wieder steiler.
Was passiert?
Dieses Mal sehen Sie, wie der kleine Punkt hin und her wandert.
Er braucht lange, bis er konvergiert.
Und konvergiert schließlich auf 0,6429.
Denken Sie daran, das ist eine Näherung,
weil X von t eine reelle Zahl ist. Es kann sein, dass es
mehr Dezimalstellen gibt, die wir durch das Runden
auf eine bestimmte Zahl von Dezimalstellen verloren haben.
Es könnte noch mehr oszillieren,
wenn wir mehr Dezimalstellen zulassen würden.
Aber am Ende konvergiert es
auf einen Fixpunkt.
Aber es dauert länger. Das ist einer
der Effekte, wenn man R größer macht.
Es dauert länger, bis das System auf einen Fixpunkt konvergiert.
Man muss über NetLogo wissen,
ich kann in diese Output-Felder gehen
dort können Sie die Zahl der Dezimalstellen festlegen,
die Sie sehen wollen,
bis zu 17 Nachkommastellen sind möglich.