2.4 La Mappa Logistica
Ora esploriamo la dinamica del Modello Logistico
Ricorda che n con (t+1) è la popolazione al tempo t+1 e che è = a (tasso di nascita
meno tasso di morte) moltiplicato per la popolazione al tempo t meno il numero di
individui che muoiono per sovraffollamento che è la popolazione al tempo t quadrato
diviso la massima popolazione o "capacità di carico".
Cominciamo leggendo questo in una forma più semplice.
sia R=tasso di nascita-tasso di morte e K=popolazione massima
ora posso scrivere l'equazione soprastante usando questi nuovi simboli:
n con (t+1) = R (n con t - n con t al quadrato / k)
ora facciamo un po' di algebra, se non ti piace, non preoccuparti, conta solo il
risultato finale.
dividiamo i due termini dell'equazione per K (la "capacità di carico")
e adesso definiamo ancora 1 nuovo simbolo x con t = n con t diviso k
adesso possiamo ri-scrivere l'equazione così: x con (t+1) =
R(x con t - x con t quadrato)
questa equazione rappresenta, per il nostro raggruppamento
la frazione della capacità di carico ad un dato istante di tempo
ed è = a R che moltiplica la frazione al precedente intervallo - la stessa frazione
al quadrato. E questa è chiamata la Mappa Logistica.
questa è la più famosa equazione nel campo della teoria del caos.
Riscriviamo le mappa logistica qui, per chiarezza.
riscriviamo la mappa logistica.
molto semplice, eh?
tuttavia è più interessante di quanto non sembri.
Molti hanno studiato questa equazione con attenzione da quando è stata proposta.
due esempi importanti furono Lord Robert May un biologo teorico
che scrisse un lavoro molto influente negli anni '70
e un fisico teorico Feigenbaum che scrisse molto su questa equazione negli anni '80
ed è forse la persona più nota per questo nella comunità scientifica
nota che x è la popolazione a un dato istante, divisa per la capacità di carico
o popolazione massima. quindi x è sempre un numero reale tra 0 e 1
questa è la ragione per cui l'equazione è definita una "mappa"
cioè PORTA, da UN lato dell'equazione, UN VALORE DI X (TRA 0 E 1)
e LO MAPPA IN UN NUOVO valore di X CHE è ANCH'ESSO TRA 0 E 1
Facciamo un esempio. Poniamo R=2 e la popolazione iniziale
sia 20% della capacità di carico , cioè X con 0 = 0,2
ora possiamo iterare questa mappa, con la calcolatrice. calcola x con 1 (a video)
x con 1 = 2 che moltiplica (0,2 - 0,2 quadrato)
con la calcolatrice si trova che ciò è uguale a 0,32.
dunque si è andati dal 20% della capacità di carico al 32% di essa.
e cosa succede l'anno dopo? (formule a video...) X con 2 = 0,4352
continuando cosi, più velocemente (video) .... .... ....
e costantemente, dopo un certo punto, il risultato è 0,5
Significa che: se il tasso di crescita (tasso di nascita - tasso di morte, "R")
è uguale a 2, e cominci da una popolazione pari al 20% della capacità di carico,
secondo questo modello la popolazione si ferma al 50% della capacità di carico
Ci sono 2 cose che devo notare:
1) uso il termine "modello" per indicare un'equazione matematica,la mappa logistica
questo è il modello (sottolinea in blu).
E' detto modello perchè è una semplice rappresentazione del fenomeno reale
della crescita di una popolazione.
ci riferiamo anche ai programmi che usiamo in net logo come modelli
sono rappresentazioni semplici di fenomeni reali.
il termine modello è molto generico nel mondo scientifico,
per ogni rappresentaz. semplificata della natura.
un'equazione, un programma informatico o altro
La seconda cosa da notare è che questo valore 0,5 è detto "attrattore"
è un attrattore per il sistema perché il sistema è attratto verso esso.
anche se iniziamo con una popolazione iniziale differente
ad es. (leggi testo), il sistema tende al valore di 0,5 dopo alcuni steps
quando un sistema finisce ad un valore fisso come 0,5 , questo valore è detto
punto fisso. questo è il valore a cui il il punto resta fissato
cosicchè per questo sistema 0,5 è detto attrattore a punto fisso
e in questo sistema, ancora, vale questa equazione con R uguale a 2
spesso il termini modello e sistema sono usati come sinonimi
in ogni caso possiamo vedere altri tipi di attrattori nella prossima sub-unit
Vediamo i diversi modi in cui possiamo vedere la dinamica della mappa logistica
cioè con i cambiamenti reiterati
scrivo la mappa logistica per R=2 (vedi schermo)
traccio: x con t e x con t +1 è una parabola
va tra 0 e 1 qui
e qui per R=2, va da 0 a 0,5 che è il punto massimo
mettiamo 0,5 sull'asse delle x seguiamo gli steps fatti prima calcolando
i valori.
il primo è 0,32 (circa qui: vedi schermo) corrisponde sulla parabola y=0,4352 (vedi)
prendiamo un valore per x2 e lo troviamo quaggiù sull' asse x
perche andiamo a calcolare il prossimo valore della funzione
cosi 0,4352 è qui (vedi) e corrisponde a questo punto (vedi) sulla parabola
e cosi per x3 ... e cosi via per x4 ...
continuiamo a fare questo ed alla fine arriviamo proprio a 0,5 e 0,5
ancora 0,5 - il sistema non va ovunque
sta sempre e solamente proprio in questo punto
il salto da un punto all'altro lungo la parabola descrive la dinamica del sistema
con questi valori (R e punto di partenza) ed è chiamato "traiettoria"
ora il quiz. serve la calcolatrice.
sia R=2,5 e x con 0 =0,2 - usa l'equazione della mappa logistica. qual è punto fisso?