LA CARTE LOGISTIQUE
Passons maintenant à la découverte de
la dynamique du modèle logistique.
Si vous vous souvenez, n indice t+1 est la population au temps t+1
qui est égal au taux de naissance moins le taux de mortalité
par la population au temps t
moins le nombre d'individus morts à cause de la surpopulation
qui est la population au temps t au carré divisé par le maximum de population ou la capacité de charge.
Je vais commencer par écrire ceci dans un format plus simple.
D'abord je prends R égal le taux de naissance moins le taux de mortalité,
et je prends K égal la population maximum.
Maintenant je peux écrire cette équation
en utilisant ces nouveaux symboles.
Maintenant je vais faire un peu d'algèbre mais, si vous n'aimez pas l'algèbre,
essayez juste de suivre et si vous ne comprenez pas tout ce n'est pas grave
seul le point final est important à savoir.
Donc je vais diviser les deux côtés de cette équation par K,
la capacité de charge,
puis je défini un nouveau symbole X indice t égal à n indice t sur K.
Maintenant je peux ré-écrire cette équation en utilisant mon nouveau symbole X
Cette équation représente la fraction
de la population courante par rapport à la capacité de charge
à un temps donné, et ceci est égal à
R par la fraction au temps t précédent moins la même fraction au carré
et ceci est connu comme la "Carte Logistique"
et ceci s'avère être l'équation la plus célèbre de la théorie du chaos.
Revoyons maintenant la carte logistique pour plus clarté
vraiment simple ha!
Cependant c'est plus intéressant qu'il n'y paraît
Beaucoup de personnes ont étudié cette équation en profondeur depuis que Verhulst l'a proposée.
Deux exemples marquants de personnes qui l'ont étudiée
sont Lord Robert May, un biologiste théoricien, qui a réalisé un article très influent
sur cette équation dans les années 70
and Michelle Feigenbaum, une physicienne théoricienne,
qui a beaucoup travaillé sur cette équation dans les années 80.
Et elles sont probablement les personnes les plus couramment associées à cette équation
dans la communauté scientifique.
Notez que X
est la population à un certain temps
divisé par la capacité de charge
(ou population maximum), donc X est toujours un nombre réel compris entre 0 et 1,
c'est pour cette raison que cette équation appelée carte.
C'est à dire qu'elle prend
sur ce côté la valeur courante de X entre 0 et 1
et le rapporte à une nouvelle valeur de X qui est aussi entre 0 et 1.
Prenons un exemple:
donnons R égal 2 et notre population initiale divisé par la capacité de charge X 0
égal .2 c'est à dire que notre population est de 20%
de la capacité de charge.
Maintenant nous pouvons développer cette carte,
prenons une calculette et calculons
X1 qui sera égal à 2
(c'est notre valeur de R) multiplié par .2 moins .2 au carré
et la calculette donne .32
donc nous sommes passé de 20% de notre capacité de charge à 32%
Maintenant que devient le prochain niveau
nous avons: 2 multiplié par,
nous devons maintenant prendre la valeur calculée dans la génération précédente,
.32 moins .32 au carré
et le résultat donne .4352
bien, continuons ainsi mais un peu plus vite
et à la fin nous obtenons .5 comme valeur.
Ceci veut dire que si votre taux de croissance, c'est à dire
le taux de naissance moins le taux de mortalité ou R, est égal à 2
et que vous commencez à 20% de votre capacité de charge,
alors avec ce modèle la population finit toujours par atteindre 50% de la capacité de charge.
Il y a deux choses que je dois mentionner ici
- d'abord j'utilise le terme "modèle"
en référence à une équation mathématique
c'est à dire la carte logistique,
ceci est le modèle.
Il est appelé ainsi le "modèle" parce que c'est une représentation simplifiée
d'un phénomène réel de croissante de population,
mais il fait aussi référence aux programmes informatiques
que nous avons développés ou que nous utilisons
dans NetLogo comme modèles puisqu'ils sont également des représentations simplifiées
de phénomènes réels.
Le mot "modèle" est un terme très général en science
pour toute représentation simplifiée de la nature
que ce soit dans des équations, des programmes informatiques, un dessin ou autre chose.
La deuxième chose à noter
est que cette valeur .5 est appelée un:
Attracteur.
C'est un attracteur pour le système parce que le système
est en quelque sorte attiré par lui.
Il s'avère que même si nous avions commencé
avec une population initiale différente, par exemple
X 0 égal .8 le système aurait encore terminé avec la valeur
.5 après un certain nombre d'itération.
Quand le système se termine
à une simple valeur comme .5 cette valeur est appelée
un point fixe
puisque la valeur, ou le point, reste fixé.
Par conséquent, pour ce système
.5 est appelé un attracteur à point fixe.
Et par "système" je parle toujours de cette équation
avec R égal à 2
Souvent les termes "modèle" et "système" sont utilisés comme synonymes,
j'espère que ce ne sera pas trop troublant.
En tout cas nous verrons d'autre types d'attracteurs dans le prochain sujet.
Enfin voici un moyen différent de visualiser la dynamique
de la carte logistique,
c'est à dire comment elle évolue lors des itérations.
Je dessine un point de l'équation de la carte logistique avec R égal 2.
Maintenant je note dessous X indice t
et dans la partie gauche X indice t+1
Bien, ce n'est pas un dessin parfait mais il représente assez bien ce qu'il est, c'est à dire une parabole
qui varie entre 0 et 1 ici
et ici pour R égal 2 comme ceci
il varie entre 0 et .5 son maximum.
Bien, mettons .5 ici sur l'axe des x
et maintenant nous pouvons suivre
les étapes franchies précédemment
en calculant les différentes valeurs.
Donc notre première valeur, si vous vous souvenez,
X1 était de .32
donc nous trouvons X1 aux environs de .3 à peu près ici
et la valeur correspondante de Y sur la parabole
était de .4352 , c'était X2
Donc voici le point X1, X2
Puis nous prenons la valeur de X2
et nous la cherchons ici sur l'axe des x
parce que nous allons calculer
la prochaine valeur de la fonction
donc .4352 se trouve à peu près ici
ce qui correspond à ce point
sur la parabole c'est X3 .9160192
ce point ici est: X2, X3
puis nous prenons X3 dont la valeur est .9160192
et nous l'appliquons sur l'axe des x
et nous obtenons ici le pont X4 qui est de .49999
Je continue ainsi et finalement j'arrive à exactement .5 et .5
Ils sont tous les deux égal à .5 et le système n'évolue plus
il reste toujours à ce point.
Donc si vous pensez à ce qui se passe d'un point à l'autre
le long de cette parabole,
comme à un exemple de la dynamique du système
avec cette valeur de R et ce point de départ,
ceci est appelé une trajectoire.
Maintenant il est temps d'aborder le prochain questionnaire.
Vous aurez besoin d'une calculette pour ce questionnaire.
Mettez R égal 2.5 et X0 égal 0.2
puis utilisez cette équation pour la carte logistique
en mettant 2.5 pour R et avec un point de départ X0 égal à 0.2
pour calculer X1, X2, X3 et ainsi de suite jusqu'à obtenir le point fixe.
Quel est ce point fixe?
Rappelez-vous que le point fixe est une valeur de X
telle que X indice t a la même valeur que X indice t+1.