نگاشت لجستیک
اکنون می خواهیم دینامیک مدل لجستیک را مورد بررسی قرار دهیم
حتما به خاطر دارید که n با اندیس t+1 نشان دهنده جمعیت در زمان t+1 است.
و برابر است با نرخ تولد منهای نرخ مرگ و میر، ضربدر جمعیت در زمان t منهای تعداد افرادی که بر اثر زیادی جمعیت تلف می شوند
که تعداد این افراد نیز برابر است با جمعیت در زمان t به توان دو، تقسیم بر «جمعیت حداکثر» یا «ظرفیت مراقبت»
اکنون می خواهیم این معادله را در قالب ساده تری بازنویسی کنیم
فرض کنیم R برابر با نرخ تولد منهای نرخ مرگ و میر باشد
و K نیز برابر با «جمعیت حداکثر» باشد
حالا می توان معادله فوق را با استفاده از این نماد ها بازنویسی کرد
اکنون می خواهیم کمی عملیات جبری روی آن انجام دهیم
اگر شما علاقه ای به جبر ندارید، بد نیست تنها این قسمت را دنبال کنید
و اگر این قسمت را به خوبی متوجه نشدید هم چندان مهم نیست. چون تنها نتیجه نهایی مهم است و دانستن آن کافیست
در واقع کاری که می خواهم انجام بدهم این است که دو طرف معادله را تقسیم بر K یا همان «ظرفیت مراقبت» بکنم
حالا می خواهم یک نماد جدید دیگر هم تعریف کنم
و آن X-t است که برابر است با n-t بر روی K
بنابراین اکنون می توان معادله را با استفاده از نماد جدید X بازنویسی کرد
این معادله نسبت جمعیت کنونی به «ظرفیت مراقبت» را در یک زمان مشخص نشان می دهد
و برابر است با R ضربدر، مقدار این نسبت در گام زمانی قبلی منهای همین مقدار به توان دو
و این معادله تحت عنوان نگاشت لجستیک شناخته می شود که معروف ترین معادله در حوزه تئوری آشوب است.
اجازه دهید برای روشن تر شدن موضوع معادله نگاشت لجستیک را اینجا بازنویسی کنیم.
واقعاً ساده به نظر می رسد. اینطور نیست؟
اما خیلی بیشتر از آنچه به نظر می رسد جذابیت دارد.
از زمانی که Verhulst این معادله را برای اولین بار ارائه داد تا کنون افراد زیادی آن را به طور عمیق مورد مطالعه قرار داده اند.
دو نمونه برجسته از افرادی که معادله لجستیک را مورد مطالعه قرار داده اند عبارتند از
Lord Robert May، یک زیست شناس نظری، که در دهه 1970 یک مقاله بسیار تأثیرگذار در مورد این معادله نوشت
و همچنین Mitchell Feigenbaum، یک فیزیکدان نظری، که در دهه 1980 به طور گسترده ای روی این معادله کار کرد
و احتمالا در محافل علمی نامش بیش از سایرین به این موضوع گره خورده است
دقت کنید که X نشان دهنده جمعیت در یک زمان مشخص است که بر «ظرفیت مراقبت» یا «جمعیت حداکثر» تقسیم شده است
بنابراین X همواره عددی حقیقی بین صفر و یک است.
به همین دلیل است که به این معادله، نگاشت می گوییم
به این معنا که در سمت راست معادله یک عدد حقیقی بین صفر و یک را میگیرد
و آن را به یک عدد حقیقی جدید در سمت چپ معادله که آن هم بین صفر و یک است نگاشت میدهد
بیاید یک مثال ببینیم
فرض کنید R برابر با 2 و مقدار جمعیت اولیه بر روی «ظرفیت مراقبت»، 0.2 باشد
یعنی جمعیت اولیه 20 درصد «ظرفیت مراقبت» است
حالا می توانیم این نگاشت را تکرار کنیم. پس ماشین حسابتان را آماده کنید.
بیایید X-1 را حساب کنیم
که برابر خواهد بود با 2، به عنوان مقدار R، ضربدر 0.2 منهای 0.2 به توان دو
که بر اساس ماشین حساب من می شود 0.32
به این ترتیب از ظرفیت مراقبت 0.2 رسیدیم به ظرفیت مراقبت 0.32
ببینیم در سال بعد چه اتفاقی می افتد؟
در سال بعد داریم: 2 ضربدر 0.32 که از مرحله قبل به دست آمده، منهای 0.32 به توان دو
که حاصلش می شود 0.4352
به همین ترتیب ادامه می دهیم، فقط کمی با سرعت بیشتر
نهایتاً به جایی می رسیم که جواب 0.5 تا ابد تکرار می شود
این بدان معناست که اگر نرخ رشد یا همان R، که برابر با نرخ تولد منهای نرخ مرگ و میر است، برابر 2 باشد
و کار را با جمعیت اولیه ای معادل با 20 درصد «ظرفیت مراقبت» شروع کنیم
بر اساس این مدل، همواره جمعیت به جایی میرسد که 50 درصد «ظرفیت مراقبت» خواهد بود
دو نکته است که باید اینجا یادآوری کنم
اولاً اینکه من اینجا از واژه مدل برای اشاره به یک معادله ریاضی استفاده میکنم که همان معادله لجستیک است
این همان مدل است
به آن مدل می گوییم چون نمایش ساده شده ای از پدیده واقعی رشد جمعیت است
من به برنامه کامپیوتری که در نت لوگو می نویسیم یا استفاده می کنیم هم مدل می گویم
چون آنها هم نمایش ساده شده ای از پدیده های واقعی هستند
واژه «مدل» یک اصطلاح خیلی رایج در علم برای اشاره به هرگونه نمایش ساده شده از طبیعت است
مهم نیست یک معادله باشد، یا یک برنامه کامپیوتری، یا یک نمودار یا هر چیز دیگر
دومین چیزی که باید به آن توجه کنیم این است که این مقدار 0.5، یک «جاذب» نامیده می شود
0.5 یک جاذب برای سیستم محسوب می شود چون سیستم به نحوی جذب آن می شود
جالب اینجاست که اگر کار را با جمعیت اولیه دیگری، مثلاً 0.8، هم آغاز کرده بودیم
باز هم سیستم بعد از چند مرحله به مقدار 0.5 می رسید
وقتی سیستم همواره به یک مقدار ثابت مثل 0.5 ختم می شود، به این مقدار «نقطه ثابت» می گوییم
چون این مقدار یا به عبارتی نقطه همواره ثابت باقی می ماند
بنابراین در این سیستم، 0.5 یک «جاذب نقطه ثابت» نامیده می شود
منظورم از این سیستم هم همان معادله با فرض R=2 است
اغلب واژه های «مدل» و «سیستم» به صورت مترادف استفاده می شوند
امیدوارم خیلی گیج کننده نشود
در هر صورت، انواع دیگری از جاذب ها را در بخش بعدی خواهیم دید
بیابید در آخر به نوع دیگری از مجسم ساختن پویایی های نگاشت لجستیک نگاهی داشته باشیم
اینکه چطور طی تکرار ها تغییر می کند
می خواهم نمودار نگاشت لجستیک برای R=2 را رسم کنم
چیزی که در این پایین رسم می کنم X-t است
و چیزی که در این بالا می کشم X-t+1 است
قطعا یک رسم فوق العاده نیست اما تقریبا آنطور که باید باشد هست
در واقع یک سهمی است که دامنه اش بین صفر و یک است
و بردش در اینجا برای R=2، بین صفر و حداکثر 0.5 تغییر می کند
اجازه بدهید نقطه 0.5 را روی محور x مشخص کنم
سپس می توانیم گام هایی را که قبلاً برای محاسبه مقادیر طی کردیم، دنبال کنیم
اگر یادتان باشد مقدار اولیه مان X1=0.32 بود
X1 را به طور تقریبی روی نمودار پیدا میکنیم که تقریباً اینجا میشود
و مقدار y متناظر با آن روی سهمی نقطه 0.4352 بود. که همان X2 میشد
بنابراین اینجا نقطه (X1, X2) می شود
سپس مقدار X2 بدست آمده را روی محور افقی پیدا می کنیم
چون می خواهیم به همین ترتیب مقدار بعدی تابع را پیدا کنیم
نقطه 0.4352 تقریباً اینجا می شود
که متناظر با این نقطه روی سهمی می شود که X3 خواهد بود و برابر است با 0.49160192
اینجا هم می شود (X2, X3)
سپس X3 بدست آمده را که برابر با 0.49160192 بود روی محور افقی پیدا می کنیم
سپس در اینجا X4 را پیدا میکنیم که برابر 0.49999... بود
و این کار را ادامه می دهیم و در نهایت دقیقاً به نقطه (0.5, 0.5) می رسیم
و وقتی x و y برابر 0.5 می شوند، سیستم دیگر تغییری نمی کند و همواره در همین نقطه باقی می ماند
بنابراین می توان دینامیک سیستم را نوعی جهیدن روی نقاط سهمی با این مقدار R و نقطه شروع مشخص تعبیر نمود که به آن «خط سیر» گفته میشود
اکنون زمان کوئیز بعدی است
برای این کوئیز یک ماشین حساب نیاز دارید
با فرض داشتن R=0.5 و X0=0.2
از معادله لجستیک برای جایگذاری این مقادیر استفاده کنید
و سپس X3، X2، X1 و الی آخر را تا زمانی که به یک نقطه ثابت برسید محاسبه کنید
نقطه ثابتی که به آن می رسید چند است؟
به خاطر بیاورید که یک «نقطه ثابت» مقداری از X است به طوریکه X-t مساوی X-t+1 باشد.
یا حسین، میر حسین