El mapa logístico
Ahora vamos a comenzar a explorar la dinámica del modelo logístico
Pueden recordar que n(t+1) es la población en el tiempo t+1
Y esto es igual a la tasa de nacimiento, menos la tasa de mortalidad
multiplicada por la población en el tiempo t, menos el número de individuos
que morirán debido a la sobrepoblación que es la población en t elevada al
cuadrado, dividida por el máximo de la población o la capacidad de carga.
Voy a comenzar escribiendo esto en su forma más simple
Primero voy a poner que R, representa la tasa de nacimiento menos
la tasa de mortalidad
Y voy a poner que K es la población máxima
Ahora puedo escribir esta ecuación usando estos símbolos nuevos
Ahora voy a hacer un poquito de álgebra, por lo tanto si no te gusta
el álgebra podés seguir de largo, si no se entiende, tampoco importa mucho
Es solamente el punto final que se debe conocer.
Lo que voy a hacer es dividir los dos lados de la ecuación
por K, la capacidad de carga
Y ahora voy a definir un nuevo símbolo
y este va a ser Xt =Nt/k
Ahora puedo reescribir esta ecuación
usando mis símbolos nuevos
Esta ecuación representa la fracción de la población actual, de la capacidad
de carga, en un tiempo dado
y esto es igual a R veces la fracción al momento previo menos la misma
fracción al cuadrado.
Y esto es conocido como
el mapa logísitico.
Y esto resulta que es la ecuación más famosa en el campo de las teorías
del caos.
Reescribamos el mapa logísitico aquí para clarificar.
Muy simple, no?
Como sucede frecuentemente, es más interesante de lo que parece
Mucha gente estudia esta ecuación de manera profunda desde que
Verhulst la propuso
Dos ejemplos prominentes de gente que la estudió son Lord Robert May
un biólogo teórico que escribió un artículo muy influyente
sobre esta ecuación en la década de 1970
y Mitchell Feigenbaum un físico teórico que trabajó extensamente
en esta ecuación en la década del 80.
Y es probablemente la persona que más se asocia con esta ecuación
en la comunidad científica.
Notemos que X es la población en algún tiempo dado
dividido por la capacidad de carga
o el valor máximo de la población
Por lo tanto X siempre un número real entre 0 y 1
Es por esto que la ecuación es llamada mapa
esto es que toma, de este lado, un valor actual de X entre 0 y 1
que mapea en un nuevo valor de X que también está entre 0 y 1.
Vamos a ver un ejemplo
Asignemos R = 2 y nuestra población inicial sobre la capacidad de carga
Xo = .2. Esto es nuestra población es un 20% de la capacidad de carga
Ahora podemos iterar este mapa, por lo tanto saquemos las calculadoras
Calculemos X1
Esto será igual a 2, que es el valor de R multiplicado por .2 menos .2 al cuadrado
Y de acuerdo a mi cálculadora, esto es igual a .32
Pasamos entonces de un 20% de la capacidad de carga
a 32%.
Ahora sucede que el año próximo
El año próximo tenemos 2 veces,
Ahora utilizamos este valor, de nuestra previa interacción.
.32 menos .32 al cuadrado y esto es igual a .4352
Ok, sigamos, pero un poco más rápido ahora
y para siempre vamos a obtener .5 como respuesta
Esto implica que si su tasa de crecimiento que es la tasa de nacimiento
menos la tasa de mortalidad, o R
es igual a 2
y comenzás al 20% de la capacidad de carga
bajo este modelo, la población siempre va a terminar en un 50%
de la capacidad de carga.
Hay dos cosas que debo hacer notar aquí:
Primero, estoy usando el término modelo
aquí para referirme a una ecuación matemática
Es decir, el mapa logístico, este es el modelo
Se lo llama modelo porque es una representación simplificada
del fenómeno real del crecimiento poblacional
Pero también me refiero al programa de computadora que escribimos
y usamos en netlogo, como modelos.
Son también representaciones simplificadas de los fenómenos reales
La palabra "modelo" es un término muy general en ciencias para
cualquier representación simplificada de la naturaleza
Sea una ecuación, un programa de computadora, un dibujo
o cualquier otra cosa
La segunda cosa que debemos notar es que este valor de .5
se llama atractor
Es un atractor para este sistema porque el sistema está, en algún sentido,
atraído a él.
Resulta que aún si comenzamos con valores iniciales diferentes
de la población, por ejemplo X0 igual a .8, el sistema terminará
con el valor de .5, luego de un número determinado de pasos.
Cuando el sistema termina en en un solo valor, como .5
este valor es llamado un punto fijo
Este valor o el punto, permanece fijo
Esto, para este sistema, .5 es llamado un atractor de punto fijo
Y por sistema me refiero, otra vez, a esta ecuación con R igual a 2
A veces el término modelo y sistema son usados como sinónimos
Espero que esto no los confunda
En cualquier caso, podemos ver otras clases de atractores
en la próxima subunidad.
Finalmente, veamos una forma diferente de visualizar la dinámica
del mapa logístico.
Esto es, cómo cambia a medida que está iterando
Voy a dibujar un gráfico de la ecuación del mapa logístico
para R igual a 2
Ahora voy a graficar aquí, Xt; lo que voy a graficar aquí es Xt+1
Ok, entonces
No es un gran dibujo, pero es más o menos así como se ve
es una parábola
que va entre 0 y 1 aquí
y aquí para R igual a 2, lo escribo va entre 0 y .5, que es lo máximo
Ok, pongamos .5 aquí sobre el eje de las x
Entonces podemos seguir los pasos para calcular los valores tomados
Ok, nuestro primer valor, si lo recuerdan es X1 igual .32
Esto es X1 que es .32 y lo encontrarán aquí
y el valor correspondiente de Y en la parábola
.4352, que es X2
Este es el punto X1, X2
Entonces tomamos el valor de X2
y encontramos aquí en el eje X, porque vamos a calcular el valor
siguiente de la función
.4352 está aquí
y se corresponde con este punto
sobre la parábola que es X3
.49160192, ok, este punto aquí es X2, X3, ok?
y tomamos el X3 que es .49160192, lo encontramos en el eje de las X
y vamos aquí para hallar X4 que es .499999, etc.
Si seguimos haciendo esto
finalmente obtenemos exactamente .5 y .5
Y otra vez, es todo acerca de .5
y el sistema ya no va a ningún lugar más
Queda fijo en este punto.
Podemos pensar que pasamos de un punto al otro
a lo largo de esta parábola.
Como un ejemplo de la dinámica del sistema. Este valor de R
es el punto inicial
y esto es llamado una "trayectoria".
Ahora es tiempo de una nueva pregunta
Necesitarás una calculadora para responder a esta pregunta
R es igual a 2.5 y X0 es igual a .2
Use nuestra ecuación para el mapa logístico
llenando 2.5 para R y comenzando con X0 como .2
para calcular X1, X2, X3 y así sucesivamente hasta alcanzar
el punto fijo.
Cuál es ese punto fijo?
Y recuerden que el punto fijo es un valor de X tal que
Xt es el mismo que Xt+1