Napiszmy raz jeszcze nasz model na wzrost populacji
i załóżmy, że wskaźnik urodzeń wynosi 2
W poprzednim segmencie powiedziałam
że ten prosty model jest liniowy
Jeśli narysujemy wykres populacji dla czasu 't+1'
w stosunku do populacji w czasie 't'
dzieje się tak dlatego, że króliki nie odziaływują na siebie
oraz nie ma żadnych ograniczeń dla wzrostu
Innym sposobem opisu liniowości jest powiedzenie
że całość jest sumą części
W naszym prostym modelu populacji możemy to zobaczyć
Na przykład, załóżmy, że zaczniemy naszą populację od 1 królika
a wskaźnik urodzeń wynosi 2
i przeprowadzimy reprodukcję w okresie 3 lat
Otrzymamy w sumie 8 królików
Teraz, ustalmy naszą populację początkową na 10
to jest 10 razy więcej niż poprzednio
Wciskamy Setup i robimy reprodukcję w latach 1,2,3
W tym przypadku kończymy z 80 królikami
10 razy więcej niż poprzednio
A więc jeżeli przeprowadzimy 10 rund
z populacją początkową równą 1
Zrobimy na niej 3 roczne cykle i podsumujemy wyniki
to otrzymamy tyle samo, ile w przypadku populacji początkowo równej 10
i jednej 3-letniej reprodukcji
to jest 80 królików w obu przypadkach
A więc całość równa się sumie części
Inaczej ma się sprawa, jeśli system jest nieliniowy
Zmienimy nasz system na nieliniowy
poprzez wprowadzenie nieliniowych oddziaływań pomiędzy jednostkami
Oto nasz model oddziaływania nieliniowego
Mamy n z indeksem t+1
równa się wskaźnik urodzeń
pomnożony przez n z indeksem t
Ale teraz odejmiemy tu liczbę potomstwa
które obumarło z powodu przepełnienia
Możemy założyć, że to przepełnienie ma miejsce
z powodu ograniczenia pożywienia, lub przestrzeni
i istnieje pewna maksymalna populacja, która może żyć
w tym szczególnym środowisku
A więc spróbujemy zdefiniować liczbę królików, która umarła od przepełnienia
jako n z indeksem t do kwadratu
Kwadrat liczebności obecnej populacji
podzielone przez wspomnianą maksymalną możliwą populację
Teraz mamy w modelu nieliniową zależność
'nt' do kwadratu bierze się stąd
że w populacji o liczebności n
może zachodzić n do kwadratu wzajemnych interakcji
Oczywiście jest to uproszczenie w stosunku do rzeczywistości
ale ten model jest wielkim uproszczeniem modelu rzeczywistego wzrostu populacji
Chcemy też za jego pomocą uchwycić ideę nieliniowych interakcji
i jest to tylko przybliżenie tego, co ma miejsce w rzeczywistości
Rozszerzmy jeszcze nasz model i uczyńmy go jeszcze bardziej ogólnym
poprzez pozwolenie, aby niektóre króliki umierały nie tylko z powodu przepełnienia
Czynnik ten nazwiemy wskaźnikiem śmiertelności
Nasz rozszerzony model będzie więc podobny
ale od wskaźnika urodzeń odejmiemy wskaźnik śmiertelności
Nasz model nazywa się "modelem logistycznym"
i został rozwinięty przez matematyka o nazwisku Pierre Verhulst
we wczesnych latach 19tego wieku
Obejrzyjmy ten model w Netlogo
Model nazywa się LogisticModel.nlogo
I jak zwykle możecie go ściągnąć poprzez link poniżej
albo ze strony z materiałami do kursu
Tu widzimy jak wygląda model
Mamy tu suwak populacji początkowej
oraz suwak wskaźnika urodzeń
a także wskaźnika śmiertelności
To są liczby rzeczywiste, nie całkowite
Jeśli model napotyka na liczbę rzeczywistą
w liczebności kolejnej populacji
to automatycznie ją zaokrągla do liczby całkowitej
Mamy tu także suwak 'nośności'
co jest naukową nazwą na maksymalną liczebność populacji
jaka może zaistnieć w danym środowisku
Ok, ustalmy więc teraz liczebność populacji początkowej na 1
Wskaźnik urodzeń na 2.0
Wskaźnik śmiertelności na razie ustalmy na 0
natomiast wskaźnik nośności ustalmy na 50
Klikamy Setup
następnie klikamy Reproduce kilka razy z rzędu
Widzimy jak populacja rośnie..
rośnie..
lecz zauważamy, że rosnąć przestaje i ustala się na liczebności 25
Gdy klikam Reproduce, populacja wciąż pozostaje na wartości 25
Zauważmy teraz, że wykres liczebności populacji w czasie
nie jest już dłużej wykładniczy i nie rośnie tak szybko
Zamiast tego, zaczyna się szybkim wzrostem
ale później tempo wzrostu zwalnia aż zupełnie się wypłaszcza
Nazywamy to funkcją logistyczną w miejsce funkcji wykładniczej
A wykres tegorocznej populacji w odniesieniu do zeszłorocznej
nie jest już linią prostą,
ponieważ nie mamy już systemu liniowego
Powróćmy teraz do naszego modelu w Netlogo
Nasuwa się tu oczywiste pytanie dlaczego liczba królików nie osiąga 50
co jest maksymalną możliwą populacją
No cóż, w ten właśnie sposób działa nasz model
Jeżeli mamy 25 osobników
to 25 do kwadratu dzielone przez 50
daje nam 12,5
Tyle osobników umrze w danym roku
i jeśli mamy wskaźnik urodzeń równy 2
to liczba osobników w następnym cyklu wyniesie właśnie 25
To jest model matematyczny
niekoniecznie realistyczny model wzrostu populacji
szczególnie w zakresie takich małych liczb
Celem modelu jest tylko uchwycenie tego jak działa system nieliniowy
obrazujący wzrost populacji w rzeczywistym świecie
ale niekoniecznie musi być precyzyjny
Co tu jest interesujące, to nie to, na ile realistyczny jest nasz model
ale jaki wpływ ma element nieliniowości na zachowanie modelu
Powróćmy do modelu
Zadajmy sobie teraz pytanie Czy całość jest tu sumą części?
jak to mogliśmy widzieć w modelu liniowym
Zróbmy to, co poprzednio
Uruchomimy reprodukcję na 3 cykle
Otrzymujemy 7 królików; po zaokrągleniu
Teraz zmieńmy populację początkową na 5
to jest 5 razy więcej niż wcześniej
Setup i znowu robimy 3 cykle
I widzimy, że teraz liczba królików
nie równa się 5 razy7
tak jak było to poprzednio gdy całość była sumą składników
A więc, jeden osobnik 'wyprodukował' 7 osobników po 3 cyklach
i spodziewalibyśmy się, że 5 osobników 'wyprodukuje' 5 razy tyle potomstwa
czyli 35 osobników
Ale zamiast tego dostajemy 21 osobników
A więc w tym nieliniowym przypadku
całość jest różna od sumy części
Możemy więc teraz zobaczyć różnicę
pomiędzy systemami liniowymi, a nieliniowymi
Tzn. kiedy części systemu wpływają na siebie w nieliniowy sposób
To kluczowa koncepcja w systemach złożónych
która będzie powracać bardzo często
Teraz kolej na Was, abyście zrobili kilka prostych ćwiczeń