Scriviamo il nostro semplice modello
di crescita della popolazione,
ancora una volta,
e poniamo il tasso di nascita uguale a due.
Nella precedente sottounità ho detto
che questo semplice modello è lineare. Quando si fa il grafico
della popolazione al tempo t+1
rispetto alla popolazione al tempo t. Questo perché i singoli conigli
non interagiscono tra loro e non c'è un limite alla crescita.
Un altro modo per descrivere la linearità e dire che
l'intero è la somma delle parti.
Nel modello semplice di crescita della popolazione
possiamo vedere questo:
per esempio supponiamo di iniziare
con una popolazione iniziale di un coniglio e un tasso di nascita uguale a due
e riproduciamo per tre anni.
Risulteranno otto conigli. Ora
se poniamo la popolazione iniziale a 10
che è dieci volte quella stabilita originariamente.
Clicco su setup, poi su reproduce una, due, tre... finiamo con
80 conigli, dieci volte la popolazione iniziale.
Quindi, se prendiamo dieci volte una popolazione iniziale
di un coniglio e facciamo passare tre anni
e sommiamo i risultati, abbiamo lo stesso risultato che se prendiamo
una popolazione iniziale di dieci per tre anni,
che è 80 conigli in ogni caso.
Quindi il globale è uguale alla somma delle parti
ma questo non avviene se il sistema non è lineare.
Faremo diventare il sistema non lineare introducendo
una interazione non lineare tra gli individui
Questo è il modello della interazione non lineare
Abbiamo n_(t+1) uguale a
il tasso di nascita moltiplicati per n_t
ma sottraiamo il numero di figli che muoiono,
a causa del sovraffollamenti. Possiamo stabilire che il sovraffollamento avviene
a causa dei limiti di cibo e di spazio e che c'è
un massimo di popolazione che può vivere in questo
habitat particolare, quindi troveremo il numero di morti
a causa del sovraffollamento,
uguale a n_t elevato al quadrato,
il quadrato del numero della popolazione attuale
diviso il valore massimo possibile della popolazione.
Questo modello è una interazione non lineare.
Il termine n_t al quadrato
deriva dal fatto che ci sono n^2 possibili
interazioni di coppia tra
gli individui. Ovviamente questa è una semplificazione della realtà
ma questo è un modello molto semplificato della crescita della popolazione.
Il suo significato è quello di evidenziare gli effetti dell'interazione non lineare
ed è molto approssimato rispetto alla realtà.
Estendiamo il modello e facciamolo diventare persino più generale facendo sì che
alcuni dei figli
muoiano per cause diverse dal sovraffollamento. Chiamiamo questo tasso di mortalità.
Il modello è lo stesso eccetto che abbiamo il tasso di nascita meno il tasso di mortalità.
Questo si chiama
il modello logistico ed è stato sviluppato dal matematico
Pierre Verhulst nei primi anni del 1800.
Ora vediamo come si evolve in NetLogo,
il modello si chiama logisticmodel.nlogo
e, come al solito, potete scaricarlo dal link qui sotto o
dalla pagina del materiale del corso.
Ecco come appare il modello. Abbiamo uno slider per la popolazione iniziale
e uno slider per il tasso di nascita e uno per il tasso di mortalità.
Sappiate che questi, adesso, sono numeri reali,
non interi. Il modello possiede un valore reale per
la misura della popolazione e alla generazione successiva
abbiamo un arrotondamento di quel numero per avere un intero
C'è anche uno slider per gestire la capacità
che è il nome scientifico per la massima popolazione
che l'habitat può supportare.
Impostiamo la popolazione iniziale a 1,
il tasso di nascita a 2.0
impostiamo il tasso di mortalità a 0 e la capacità a 50
Facciamo setup
e ora reproduce
parecchie volte in una riga così la popolazione sta crescendo
crescendo e crescendo
e notiamo che è fissata a
25 che se io faccio un altro
giro di reproduce rimane a 25.
Notate che la popolazione nel tempo non è più
esponenxioale in questo modo. Non cresce più esponenzialmente,
invece inizia veloce ma poi inizia a rallentare questa crescita
fino a che si appiattisce
questa si chiama funzione logistica invece di
funzione esponenziale e il grafico della popolazione di quest'anno rispetto
all'anno precedente
non è più una linea retta perché non abbiamo più un sistema lineare
Ora ritorniamo al modello NetLogo
Una domanda ovvia è: perchè il numero di conigli non è 50?
che è la capacità. Bene, questo è il modo in cui il modello funziona
Se ci sono 25 individui
quindi 25 al quadrato diviso 50
uguale 12,5 di quegli individui che muoiono
e ricordiamo che abbiamo un tasso di nascita uguale a 2, per creare
figli per la generazione successiva. Quindi abbiamo 25.
E' un modello matematico, non necessariamente
un modello di crescita realistico, specialmente con piccoli numeri
è inteso per capire la natura non lineare della crescita della popolazione
nel mondo reale
ma non necessariamente per essere precisi.
Quindi non siamo interessati a quanto il modello è realistico
ma a come influisce sul comportamento la nonlinearità.
Torniamo al nostro modello.
La nostra domanda è:
l'intero è uguale alla somma delle parti? Come abbiamo visto nel modello lineare
Facciamo ciò che abbiamo fatto prima, facciamo reproduce per tre volte
Qui otteniamo 7 conigli,
perché è arrotondato, ma impostiamo la popolazione iniziale a 5
che è cinque volte l'originaria.
Facciamo di nuovo setup e andiamo avanti tre volte
e vedete che il numero di conigli non è 5 x 7
che sarebbe la somma delle parti per la prima versione di questo
Cioè: un individuo produce sette individui dopo tre passi
quindi pensate che cinque individui produrrebbere cinque volte questo
che sarebbero 35 individui dopo tre volte, invece otteniamo 21
quindi nel caso non lineare, il complessivo non è la somma delle parti
Quindi avete potuto vedere una differenza fra sistemi lineari
e non lineari che è ciò che succede quando le parti interagiscono
in modo non lineare
Questo è un concetto chiave nei sistemi complessi che ritornerà tante volte.
E ora è il momento per voi di fare alcuni brevi esercizi.