2.3 Sistemas no lineales vs. sistemas lineales
Escribamos un modelo simple de crecimiento poblacional, una vez más.
Supongamos que la tasa de nacimiento es igual a 2.
En la sub unidad previa dije que este modelo simple es lineal
cuando graficamos la población en el tiempo t + 1,
contra la población en el tiempo t
Esto es debido a que los conejos individuales no interactúan entre sí
y no hay un límite al crecimiento
Otra forma de describir la linealidad
es decir que "el todo es la suma de las partes"
y en el modelo simple del crecimiento poblacional lo podemos ver
Por ejemplo supongamos que comenzamos nuestra población inicial
con un solo conejo y una tasa de nacimiento de 2
y lo reproducimos durante 3 años
Terminamos con 8 conejos
Ahora asignemos a nuestra población inicial, 10
Es decir 10 veces más que la original
Click en "setup", reproducimos 1, 2, 3
terminamos con 80 conejos
10 veces el valor original
Entonces si tomamos 10 corridas diferentes de la población inicial
en 1, y las corremos por 3 años y sumamos los resultados
Obtenemos la misma cosa tomando una población inicial de 10 por 3 años
Esto es 80 conejos en cualquier caso
Por lo tanto aquí, el "todo es igual a la suma de sus partes"
Pero este no es el caso si el sistema no es lineal
Vamos a hacer nuestro sistema no lineal poniendo interacciones no lineales
entre los individuos.
Aquí está nuestro modelo de interacciones no lineales
Aquí tenemos N sub t + 1 es igual a la tasa de nacimiento por N sub t
Pero ahora vamos a restar el número de crías que mueren
debido a la superpoblación.
Podemos asumir que la superpoblación ocurre debido a los límites en comida
o espacio y que hay una población máxima que puede vivir en este
hábitat particular. Por lo tanto podemos definir el número de los que mueren
debido a la superpoblación como igual a N sub t al cuadrado, el cuadrado
del número en la población actual
dividido por el máximo posible de la población
Este modelo tiene interacciones no lineales
El término N sub t al cuadrado viene del hecho que hay
n posibilidades al cuadrado de interacciones pares entre los individuos
Esta es una simplificación con respecto a la realidad. Pero este es un modelo
altamente simplificado del crecimiento real de la población.
Está destinado a capturar los efectos de las interacciones no lineales y es
muy aproximado en relación a lo que ocurre en la realidad.
Expandamos el modelo y hagámoslo aún más general, permitiendo que algunas crías
de los conejos no mueren a causa de la superpoblación.
Llamémoslo la tasa de muerte.
Nuestro modelo es el mismo, excepto que ahora tenemos a la tasa de nacimiento
menos la tasa de muerte
Este modelo es llamado "logístico" y fue desarrollado por el matemático
Pierre Verhulst en los comienzos del 1800
Vamos a ver si corre en NetLogo
El modelo es llamado "logisticModel.nlogo"
y como siempre ustedes pueden bajarlo del link que figura abajo
o de la página de los materiales del curso
Así es como se ve el modelo. Tenemos un "slider" de la población inicial
y "sliders" para la tasa de nacimiento y para la tasa de muerte.
Estos son números reales, no enteros y si el modelo viene con valores reales
para el tamaño de la población de la siguiente generación,
redondea los números reales para poder producir enteros.
Hay también un "slider" para la "capacidad de soporte"
que es el nombre científico para la población máxima que el
hábitat puede soportar.
Ok, vamos a asignar a la población inicial el valor 1, la tasa de natalidad a 2.0,
vamos a dejar la tasa de mortalidad en 0 y la capacidad de carga en 50.
Click en "setup" y luego "reproduce" varias veces, la población está creciendo,
creciendo, creciendo y notemos aquí que tiene 25 conejos fijos
Si hacemos una vuelta más de "reproduce" queda fijo en 25.
Notemos que este gráfico de población sobre tiempo no es más exponencial
en su forma, no crece demasiado rápido, en vez comienza yendo rápido
pero luego desacelera y se estabiliza. Esto es llamado la función logística
en vez de función exponencial y el gráfico de la población de este año versus
la población del año pasado no es más una línea recta.
Porque no tenemos más un sistema lineal.
Volvamos al modelo de Netlogo
Una pregunta obvia es por qué el número de conejos no es 50
que es la capacidad de carga
Bueno este es el modo en que el modelo trabaja. Si hay 25 individuos, entonces
25 al cuadrado dividido 50 es igual a 12.5 que son los que morirán y el resto
tendrá una tasa de nacimiento de 2 para generar las crías de la siguiente
generación. Por lo tanto tenemos 25
Es un modelo matemático, no necesariamente un modelo realista
de crecimiento poblacional, especialmente con números pequeños
Está destinado a capturar la naturaleza no lineal de como la población
crece en el mundo real, pero no es precisamente exacto.
En lo que estamos interesados no es en cuan realista es el modelo
sino en los aspectos no lineales de ese comportamiento
Volvamos al modelo
Entonces nuestra pregunta es: ¿es el todo la suma de las partes?
Como vimos que era en el modelo lineal
Hagamos lo que hicimos antes, correr, y reproducir por 3 veces
Aquí tenemos 7 conejos de la corrida
pero ahora vamos a asignar a la población inicial 5, esto es 5 veces el original
Clickeamos en "setup" y lo corremos 3 veces
Vemos aquí que el número de conejos no es 5 veces 7, que es la suma de las
partes de la primera versión de esto
Esto es 1 individuo produce 7 individuos después de 3 pasos, si pensás que 5
individuos producirán 5 veces eso, o 35 individuos después de 3 corridas
Pero en vez de eso obtenemos 21
Por lo tanto en este caso no lineal
el todo es diferente de la suma de sus partes
Ahora vemos una diferencia entre los sistemas lineales y no lineales
esto es, qué pasa cuando las partes interactúan en una forma no lineal
Este es un concepto clave en los sistemas complejos al que volveremos una y otra vez
Ahora es el tiempo para que vos hagas algunos ejercicios cortos