2.3 Lineare versus nichtlineare Systeme
Lassen Sie uns noch einmal unser einfaches Modell
für Bevölkerungswachstum aufschreiben
nehmen wir an, die Geburtenrate ist 2
in der letzten Einheit habe ich gesagt, dass dieses einfache Modell linear ist
wenn man die Population zum Zeitpunkt t+1
gegen die Population zum Zeitpunkt t plottet
Das war so, weil die einzelnen Häschen nicht miteinander interagiert haben.
und es keine Grenze für das Wachstum gab.
Eine andere Möglichkeit, Linearität zu beschreiben
ist, dass das Ganze die Summe seiner Teile ist.
Im einfachen Modell für Populationswachstum
konnen wir dies sehen
Zum Beispiel, wenn wir unsere Ausgangspopulation
mit einem Häschen starten
mit einer Geburtenrate von 2
und wir wiederholen das über drei Jahre
haben wir am Ende acht Häschen
Jetzt starten wir die Ausgangspopulation mit zehn
also die zehnfache Originalpopulation, Setup,
lassen sie reproduzieren, einmal, zweimal, dreimal,
und wir haben am Ende 80 Häschen.
Zehnmal mehr als im ersten Versuch
Wenn wir also zehn Durchgänge
der ersten Population genommen hätten
und sie über drei Jahre reproduziert hätten
und die Ergebnisse aufsummiert hätten,
hätten wir dasselbe wie eine Ausgangspopulation
von 10 über drei Jahre erreicht,
das heißt 80 Häschen in beiden Fällen.
Also ist hier das Ganze gleich der Summe der Einzelteile.
Aber das trifft nicht zu, wenn das System nichtlinear ist.
Wir machen unser System nichtlinear, indem wir nichtlineare Interaktionen
zwischen den Individuen einbauen.
Hier ist unser Modell nichtlinearer Interaktion.
Hier haben wir n zum Zeitpunkt t+1 gleich Geburtenrate mal n zum Zeitpunkt t
aber jetzt subtrahieren wir hiervon die Zahl der Nachfahren, die wegen Übervölkerung gestorben sind.
Wir nehmen an, dass Übervölkerung eintritt,
wenn es nur begrenzte Nahrungs- oder Platzressourcen gibt
und dass es eine maximale Zahl an Individuen gibt,
die Maximalpopulation,
die in diesem speziellen Habitat leben können.
Wir definieren die Zahl der Individuen,
die durch Übervölkerung sterben, als n zum Zeitpunkt t hoch zwei
die Zahl der Individuen
in der derzeitigen Population zum Quadrat
geteilt durch diese Maximalpopulation.
Dies modelliert eine nichtlineare Interaktion.
der Term "n zum Zeitpunkt t hoch zwei" kommt daher,
dass es n hoch zwei mögliche paarweise Interaktionen
zwischen den Individuen gibt
Das ist natürlich eine Vereinfachung der Realität.
Aber das Modell ist ja auch ein sehr vereinfachtes Modell
des wirklichen Populationswachstums.
Es soll die Effekte nichtlinearer Interaktionen darstellen.
Und ist nur eine Näherung
für das, was wirklich passiert.
Wir erweitern jetzt das Modell und machen es verallgemeinerbar
indem wir es zulassen, dass einige der Nachfahren
wegen anderer Ursachen sterben,
die nichts mit Übervölkerung zu tun haben.
Wir nennen das Sterberate.
Das Modell bleibt gleich, nur haben wir jetzt
Geburtenrate minus Sterberate
Das nennt man das logistische Modell.
Es wurde vom Mathematiker Pierre Verhulst
im frühen 19. Jahrhundert entwickelt.
Jetzt lassen wir das Modell in NetLogo laufen.
Die Datei heißt LogisticModel.nlogo
und wie immer können Sie es vom Link unten oder
von der Seite mit den Kursmaterialien herunterladen.
So sieht das Modell aus.
Wir haben einen Regler für die Ausgangspopulation
und Regler für Geburten- und Sterberate
Das sind reelle Zahlen, keine ganzen Zahlen.
Wenn das Modell eine reelle Zahl
als Ergebnis eines Durchgangs produziert
rundet es diese auf eine ganze Zahl.
Es gibt auch einen Regler für Belastbarkeit,
das ist der Fachbegriff für die Maximalpopulation,
die das Habitat tragen kann.
Wir setzen die Ausgangspopulation auf 1
die Geburtenrate auf 2.0
Wir lassen die Sterberate auf 0
und wir setzen die Belastbarkeit auf 50.
Setup klicken.
Und jetzt reproduzieren wir ....
mehrmals hintereinander.
Die Population wächst.
Wächst.
Sehen Sie hier, sie hat sich auf 25 eingependelt.
Wenn ich jetzt noch eine Reproduktionsrunde mache
bleibt sie trotzdem auf 25.
Sehen Sie sich den Population-versus-Zeit-Graphen an.
Er ist nicht mehr exponentiell.
Er wächst nicht wirklich schnell an.
Er startet schnell,
aber verlangsamt sich dann und veflacht.
Das nennt man eine logistische Funktion.
Im Gegensatz zu einer Exponentialfunktion.
Der Graph, der die diesjährige Population
versus der letztjährigen zeigt, ist keine Gerade mehr.
Weil wir hier kein lineares System mehr haben.
Wir gehen jetzt zurück zum NetLogo Modell.
Eine offensichtliche Frage ist:
Warum ist die Zahl der Häschen nicht 50?
Das ist die Belastbarkeit.
So funktioniert eben das Modell.
Wenn es 25 Individuen gibt,
dann ist 25 hoch zwei getilt durch 50 gleich 12.5.
12.5 dieser Individuen werden sterben
und die Überlebenden haben eine Geburtenrate von 2,
um Nachfahren für die nächste Generation zu produzieren.
Also bekommen wir 25.
Das ist ein mathematisches Modell,
also nciht unbedingt ein realistisches Modell für Bevölkerungswachstum.
Vor allem mit diesen kleinen Zahlen.
Es soll die nichtlinearen Eigenschaften
von Bevölkerungswachstum in der richtigen Welt abbilden,
aber nicht unbedingt präzise sein.
Wir sind hier nicht unbedingt daran interessiert,
wie realistisch das Modell ist,
sondern welche Auswirkungen
der nichtlineare Teil auf sein Verhalten hat.
Wir gehen zurück zum Modell.
Die Frage ist, ist das Ganze die Summe der Teile
wie das im linearen Modell der Fall war?
Lassen Sie uns das wiederholen,
für drei Reproduktionszyklen
wie bekommen sieben Häschen
wegen der Rundung
aber jetzt setzen wir die Ausgangsbevölkerung auf 5
also 5 mal die vorherige
Setup und wieder drei Durchgänge laufen lassen
Die Zahl der Häschen ist nicht 5 mal 7
was der Summe der Teile der ersten Version entsprechen würde
das heißt, ein Individuum produziert 7 Nachfahren
nach drei Durchgängen
man würde also denken, dass 5 Individuen 5 mal 7 Nachfahren produzieren
also 35 Nachfahren nach drei Durchgängen.
Stattdessen haben wir 21.
In diesem nichtlinearen Fall ist das Ganze verschieden von der Summe der Teile.
Sie haben hier den Unterschied
zwischen linearen und nicht-linearen Systemen gesehen.
Das heißt, was passiert, wenn
die Teile nichtlinear miteinander interagieren.
Das ist ein Schlüsselkonzept komplexer Systeme, auf das wir
immer wieder zurückkommen werden.
Jetzt ist es Zeit für Sie,
dass Sie einige Aufgaben lösen.