O primeiro conceito para entender Dinâmica e Caos é
interação, que faz algo repetitivamente.
Por exemplo, vamos pensar sobre o crescimento da população.
Crescimento da população não é um processo de liderança
desde de que a reprodução acontece repetidamente.
Vamos olhar um modelo extremamente simples de crescimento populacional,
chamado de simplepopulationgrotwth.nlogo
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Então abra o modelo.
Nesse modelo, quando clicamos em Setup iniciamos com um único indivíduo
formando nossa população.
A taxa de natalidade é 2, o que significa
que cada etapa deste pequeno coelho produzirá 2 crias e morrerá.
Então quando clicamos em" reproduce", você pode ver que temos 2 crias.
Agora o próximo passo é que cada um desses coelhos produzirá 2 crias e
morrerá, e isto acontecerá repetitivamente, e então o mundo
começa a preencher-se com mais e mais desses coelhos.
O modelo nos mostra dois gráficos, o primeiro nos dá população ao longo do
tempo, então a cada etapa de tempo a população dobra, você pode ver que isto
começa a subir rapidamente.
Temos o outro gráfico, uma outra maneira de ver isto,
em que marcamos a população do ano passado com a deste ano.
Pensamos que cada etapa de tempo do ano, representa um ano.
A população do ano passado diz que 100 da população deste ano será 200.
Pode ver isto aqui, e se ano passado era 300 este ano será 600 e assim por diante.
Você pode ver que temos uma linha reta.
Isso não poderia ser tão simples, certo.
Bem, porque é tão simples, irei lhe mostrar como transformar isso em um
modelo matemático.
Então vamos fechar o Netlogo aqui e por isso de lado, e
vamos escrever algumas equações.
Primeiro uma terminologia, vamos chamar população de "n".
então "n"é igual a população.
Vamos rotular a população inicial de "n0", em nosso modelo "n0"é igual a
um, houve apenas um único indivíduo.
Então podemos rotular similarmente "n1"é igual a população de um ano e assim por diante.
Acredite, porque nosso primeiro coelho teve 2 coelhinhos e então morre.
Mas geralmente podemos rotular "nt" como população t por ano.
Nós também tivemos o valor para a taxa de natalidade, que foi o número
de crias produzidas cada ano
Notamos que "n1"é igual a taxa de natalidade vezes "n0".
Então tinhamos uma no início e nós multiplicamos isso por 2, para
conseguir a cria. Similarmente "n2" é igual a taxa de natalidade vezes "n1".
Nós podemos generalizar isso dizendo que "nt+1" é igual a taxa de natalidade
vezes a população do ano anterior "nt". Então este é o nosso modelo.
A parte interativa vem do fato de que nós sempre usamos a população do ano
anterior para calcular a população do próximo ano
e no ano seguinte nós pegamos essa nova população para calcular a
população para os anos seguintes, e assim por diante.
Isso chama-se interação.
Isto chama-se Crescimento populacional Exponencial, e vemos isso a seguir.
Vamos fazer uma tabela aqui em cima do Crescimento populacional
aqui escrevemos o ano e aqui "nt". Então este é o ano "t" e este "nt".
Temos 0 e você lembra que este é 1 e este é para taxa de natalidade = 2
No ano 1 nós temos 2, no ano 2 nós temos 4, porque estamos dobrando
estes a cada ano, no ano 3 temos 8 e assim por diante.
Espero que você tenha visto o padrão aqui, porque em um ano "t"
nós vemos que nossa população está com 2 elevado a "t", então
2 elevado a 1, 2 elevado a 2, 2 elevado a 3 e 2 elevado a "t".
Isto chama-se função exponencial porque nós temos este expoente "t"
e isto faz com que a população cresça bem rápido.
Claro que isto é completamente irrealista, é um crescimento populacional
descontrolado, e claro no mundo real existem limites para este crescimento;
uma população iria ficar sem recursos como, comida ou espaço para crescer.
Mas por agora vamos assumir que não há limite para o crescimento.
Agora vamos ver de novo a versão deste modelo no Netlogo.
Então lembre-se que aqui nós temos nosso mundo cheio de coelhos.
Nós tínhamos nossa população versos tempo.
Mas agora nós podemos traçar a população deste ano versos
a população do ano passado.
Agora este aqui, população versos time não é uma função exponencial,
que era uma função que teve que se elevar a "t".
Esta é como uma função exponencial se parece
Mas se nós traçarmos a população deste ano com a população
do ano passado, nós temos uma função linear;
Nós podemos por uma pequena nota para nos lembrar como a função era;
a função n "( t+1)" = a taxa de natalidade vezes n"t".
Para aqueles que se lembram vagamente de álgebra até mesmo
álgebra 1, esta é a equação de uma linha.
Nós temos Y = inclinação vezes X.
Então aqui está nosso y, a inclinação é a taxa de natalidade
que é 2, isto nos mostra cada vez que olhamos para X nós duplicamos
isto para conseguir Y.
Bem, isto é uma equação linear e a razão de ser linear é que esta é a
essência do sistema linear, se nós olharmos para a população deste ano
versos a população do ano passado.
Nós falamos na unidade 1 sobre a noção de linear versos não linear.
Linear acontece porque não há interações entre esses coelhos;
você tem só reprodução e os coelhos vão todos independentemente uns dos outros.
E independência nesse sentido no sistema produz crescimento linear.
Agora é hora para um Quiz.
Suponhamos que a taxa de natalidade vá para 3;
deixamos a população inicial "n0" ser 1 coelho novamente;
a questão é: qual será a população no tempo 4 "n4"?