El primer concepto a entender en dinámica y caos es el de iteración.
Esto es, hacer algo una y otra vez.
Por ejemplo, pensemos en crecimiento poblacional. El crecimiento poblacional
es un proceso iterativo ya que la reproducción sucede una y otra vez.
Vamos a ver un modelo extremadamente simple de crecimiento poblacional...
llamado, "simple population growth.nlogo".
Como siempre, este está disponible con los recursos en nuestra página de web.
Abranlo. En este modelo, cuando hacemos click en "Setup",
inicia con una población de un individuo. La taza de nacimiento (birth-rate)
es dos, ya que en cada paso, el conejito produce dos crías y luego muere.
Así que seleccione “Reproduce” y podrá ver como pasa. Ahí están las dos crías.
Ahora, en el próximo paso, cada uno de los 2 conejos producen dos crías y mueren.
Esto pasa una y otra vez hasta que el mundo se llena rápidamente de conejitos.
El modelo nos muestra dos gráficas: arriba muestra la población en el tiempo
y, en cada periodo de tiempo, la población se duplica, subiendo rápidamente.
También nos da otra gráfica, otra forma de ver esto,
en la cual compara la población del año pasado con la población de este año.
Con un año por periodo de tiempo.
Si el año pasado eran 100, este año serán 200
Y si es de 300, será de 600 este año. Como pueden ver, obtenemos una línea recta.
No podría ser más simple, ¿correcto? Como esto es tan simple, voy a mostrarles cómo
convertir esto en un modelo matemático.
Así que cerremos NetLogo... Lo ponemos a un lado, y escribamos algunas ecuaciones.
Primero, algunas terminologías. Llamemos a la población "n". Y llamemos a la población inicial "n sub-cero".
En nuestro modelo, "n sub-cero" era igual a uno, solo había un individuo.
Igualmente, podemos designar a la población del primer año "n sub-uno" y así por el estilo.
Para nosotros era dos porque nuestro conejito inicial tubo dos conejitos y se murió.
Y, más generalmente, podemos designar la población en el año "t" como "n sub-t" para cualquier año que veamos.
También, tuvimos un valor para la taza de nacimientos igual al numero de nacimientos producidos cada año.
Notamos que "n sub-uno" era igual a la taza de nacimientos multiplicada por "n sub-cero".
Así que tuvimos uno al comienzo, y multiplicamos esto por dos para obtener dos crías.
Similarmente, "n sub-dos" es igual a la taza de nacimientos por "n sub-uno".
Podemos generalizar esto dicunedo que "n sub-t" más uno es igual a la taza de nacimientos multiplicada por la población del año anterior "n sub-t".
Y este, es nuestro modelo. La parte iterativa se da por el hecho de que siempre usamos la población del año anterior para calcular la del año siguiente.
Y en el siguiente año, tomamos la población este año y la usamos para calcular la población del próximo año, y así sucesivamente.
Esto es lo que se llama iteración. A esto se le llama crecimiento poblacional exponencial y podemos verlo como sigue.
Hagamos una tabla aquí arriba del crecimiento poblacional. Así que escribiremos el año y acá escribimos "n sub-t".
Así que este será el año t y 'n sub-t". Entonces, esto será cero, y si recuerdan, esto será uno.
Para la taza de nacimiento 2, en el año uno, t será 2, y cuando este sea dos, t será 4 porque estamos doblando cada año. En el año 3 tendremos 8 y así sucesivamente.
Y espero que vean el patrón porque en el año "t" veremos que nuestra población es 2 a la potencia de "t". Así, 2 a la uno, 2 a la 2, 2 a la 3, 2 a la "t".
Esto se llama función exponencial porque tenemos este exponente "t" y esto causa que la población crezca muy rápidamente.
Por supuesto, esto es completamente irreal. Es un crecimiento incontrolado de la población y, por supuesto, en el mundo real tenemos límites en el crecimiento.
Una población se quedara sin recursos, se quedara sin comida, o espacio para crecer. Pero, por el momento, asumiremos que no hay límites para el crecimiento.
Y ahora, veamos otra vez en NetLogo la versión de este modelo.
Así, recordemos que tenemos nuestro mundo lleno de conejitos. Y tenemos nuestra grafica de población versus tiempo.
Pero, ahora podemos entrar la población de este año contra la población del próximo año.
Ahora aquí, población versus tiempo, es una función exponencial, que era la que tenia el 2 elevado a la potencia "t". Así es como se ve una función exponencial.
Pero si graficamos la población de este año versus la población del año pasado, obtenemos una función lineal.
Y podemos escribir una nota aquí para recordarnos cual era la función, y esta era la función "n sub-t +1" igual a la taza de nacimiento multiplicada por "n sub-t".
Para aquellos que vagamente recuerden el álgebra, algebra I por lo menos, esta es la ecuación de una línea.
Tenemos "y = pendiente por x". Así que este es nuestro eje "y", la pendiente es la taza de nacimiento, que es 2.
Esto muestra que cada vez que vemos "x", lo doblamos y obtenemos "y".
Bueno, esta es una ecuación lineal y, la razón por la que es lineal es porque, este es esencialmente un sistema lineal, si miramos a la población de este año versus la población del año pasado.
En la unidad uno, hablamos de la noción de no-linealidad versus linealidad. Es lineal porque no hay interacción entre estos conejitos.
Solo hay reproducción y los conejitos van independientemente unos de otros. Y, la independencia, en el sentido de un sistema, lleva a la linealidad, crecimiento lineal.
Y ahora, es el momento para una prueba corta.
Supongamos que la taza de nacimiento sube a 3. Dejaremos que la población inicial sea un conejito, otra vez.
La pregunta es, ¿cuál será la población cuando "n sub-t" sea igual a 4?