El primer concepto a entender en sistemas dinámicos y caos es el de iteración
Esto significa hacer algo una y otra vez
Por ejemplo, pensemos en crecimiento poblacional. El crecimiento poblacional
es un proceso iterativo en donde la reproducción ocurre una y otra vez
Vamos a ver un modelo extremadamente simple de crecimiento poblacional
llamado crecimiento simple de población "simple population growth.nlogo"
Como siempre, está disponible en la página de materiales del curso en
nuestra página web.
Vamos a abrirlo
En este modelo, si cliqueamos en Setup
Comenzamos con un solo individuo, que constituye nuestra población
La tasa de nacimiento es 2, que implica que en cada paso, este pequeño conejito
producirá dos crías y luego muere.
Entonces si hacemos click sobre Reproduce podemos ver qué es lo que sucede.
Ahí están las dos crías.
Ahora, el próximo paso, cada uno de estos conejos producirán dos
crías y morirán. Y así sucesivamente
y así sucesivamente y muy rápidamente el mundo comienza a llenarse con más
y más de estos conejitos. El modelo muestra dos gráficos, el de arriba
muestra a la población a lo largo del tiempo, en cada paso
la población se duplica, pueden ver como eso sucede rápidamente
y también hay otro gráfico, otra manera de ver esto mismo
en el cual graficamos la población del último año, contra la población
de este año. Cada paso representa un año.
La población del año pasado era de 100 la de este año es de 200
Podemos ver esto aquí
Y si fue 300 el año pasado, este año será de 600 y podemos
verlo como una línea recta.
No puede ser más simple, no es cierto?
Bueno, como es tan simple, voy a transformarlo con un modelo matemático
Vamos a cerrar el netlogo, lo dejamos a un lado
y escribamos algunas ecuaciones.
Primero demos alguna terminología
Llamemos a la población, n, n minúscula, esta es la población
Ahora etiquetemos la población inicial n sub cero
En nuestro modelo n sub cero es igual a uno, un solo individuo.
Podemos del mismo modo etiquetar n sub uno igual a la población
al año uno. Y así sucesivamente. Para nosotros esto es 2, porque nuestro
conejito incial tuvo dos conejitos y luego murió.
Más generalmente, podemos etiquetar a la población al año t como n sub t
para el año que querramos.
También teníamos un valor para la tasa de nacimientos
que era el número de crías producido en cada año.
Notamos que, n sub uno es igual a la tasa de nacimiento por n sub cero
ok, entonces tenemos uno al comienzo y multiplicamos esto por dos
para obtener dos crías
Del mismo modo n sub dos es igual a la tasa de nacimiento multiplicado
por n sub uno; podemos generalizar esto y decir que n sub t más uno, que es
la población al año t más uno es la tasa de nacimiento
multiplicado por la población al año anterior, n sub t.
Entonces, este es nuestro modelo.
La parte iterativa viene del hecho de que nosotros siempre tomamos la población
del último año y la usamos para calcular la población del próximo año.
Y entones en el año luego de esto, tomamos esta nueva población
y la usamos para calcular la población que sigue el año que viene
y así sucesivamente. Y esto es llamada una iteración.
Esto es llamado un crecimiento poblacional exponencial
Y lo podemos ver como sigue
Dibujemos una tabla aquí del crecimiento poblacional
Escribiremos aquí el año y
escribimos aquí n sub t.
Entonces este es el año t y n sub t entonces cuando tenemos 0
recordemos que éste vale 1
y esto es para la tasa de nacimiento igual a 2
Al año 1, tenemos 2, al año 2 tenemos 4, porque estamos duplicando esto
cada año, al año 3 tenemos 8 y así sucesivamente y espero que puedan
ver el patrón que emerge aquí, porque al año t, vemos que nuestra población
es igual a 2 elevado a la potencia t,
Así que 2 a la 1, 2 a la 2, 2 a la 3, 2 a la t
Esto es llamado una función exponencial porque tenemos un exponente
t y esto provoca que la población crezca muy rápidamente
Por supuesto que esto es completamente irreal, es un crecimiento no controlado
de la población y por supuesto en el mundo real existen límites al crecimiento
Una población se puede quedar sin recursos
se puede quedar sin comida o aún de espacio en donde poder crecer
Por ahora asumimos que no hay límites al crecimiento
Volvamos entonces al modelo de netlogo
Recordemos aquí que nuestro mundo está lleno de conejitos
tenemos nuestro gráfico de población contra el tiempo
Pero ahora podemos graficar la población de este año
contra la población del año pasado
Este de aquí de población contra el tiempo es una función exponencial
es la función que tiene el valor 2 elevado a la potencia t
y así es como se ve una función exponencial
Pero si graficamos la población de este año contra la población del año pasado
obtenemos una función lineal
Y podemos escribir una nota aquí
que nos recuerda que es esa función
y esa es la función n sub t + 1 que es igual a la tasa de nacimiento
multiplicado por n sub t
Para todos aquellos que vagamente recuerdan álgebra, aún álgebra 1
esta es la ecuación de la línea recta
Tenemos que y es igual a la pendiente multiplicado por x (y = b * x)
Aquí tenemos nuestro eje de las y
nuestra pendiente es la tasa de nacimiento, que es 2
Esto muestra que cada vez que vemos x se duplica y obtenemos "y".
Esta es una ecuación lineal y la razón por la que es lineal es porque en
esencia es un sistema lineal. Si miramos a la población de este año, contra la
población del año pasado.
En la unidad 1 hablamos de la noción de no-linealidad versus linealidad
Es lineal porque no hay interacciones entre estos conejos; sólo se reproduccen
y los conejitos son independientes entre sí
La independencia, en un sistema, produce linealidad, un crecimiento lineal
Ok, ahora es tiempo para una pregunta
Supongamos que la tasa de nacimiento sube a 3. Tenemos que la población incial
n0 es igual a 1 conejito, la pregunta es: cuál es la población en n4?