Witam wszystkich.
Nasza druga jednostka dotyczy dynamiki i chaosu
Dynamika jest o tym, w jaki sposób rzeczy ulegają zmianom
i jak to omawialiśmy wcześniej, zasadniczym aspektem
do zrozumienia systemów złożonych
jest określenie ich dynamiki, to jest
W jaki sposób ich złożone zachowanie się rozwija i jak
zmienia się w czasie.
Na początek, omówię po krótce historię nauki o dynamice.
Potem przyjrzymy się idei iteracji
i temu jak iteracja prostych
zachowań może prowadzić do wzrostu
złożoności układów.
Spędzimy trochę czasu omawiając kluczowe pojęcia układów nieliniowych
i tego jak wzajemne relacje nieliniowe
tworzą sedno systemów złożonych
Następnie spojrzymy bliżej
na prosty model wzrostu populacji,
który daje początek nieoczekiwanym zachowaniom.
Wytłumaczę, co rozumie się pod pojęciem "chaosu",
inaczej określanego jako wrażliwość
na warunki początkowe.
Dynamika jest ogólnym studium nad
zachowaniem się systemów w czasie
Pokażę Wam kilka przykładów zagadnień
jakie ludzie studiują w ramach dynamiki.
Dynamika planet zajmuje się
ruchem planet pod wpływem
grawitacji oraz określaniem ich orbit,
odchyleniami ich orbit, elipsami itd.
Dynamika płynów z kolei, zajmuje się
przepływami płynów włączając w to studia nad
pływami oceanicznymi, huraganami, chmurami gazów w przestrzeni
turbulencjami w przepływach powietrza
jakich możemy doświadczać podczas
podróży samolotem.
Dynamika prądów elektrycznych to studia nad przepływami prądów w obwodach.
Dynamika klimatu obejmuje obserwacje
zmian klimatu w czasie w znaczeniu temperatury,
ciśnienia i tak dalej.
Dynamika tłumu bada natomiast zachowanie ludzi w tłumie,
który może być uporządkowany lub nieuporządkowany
na przykład, kiedy ktoś
woła: "ogień!" w zatłoczonym pomieszczeniu
ludzie mogą zacząć uciekać w popłochu
Dynamika populacji przygląda się zmianom ludności w czasie
Będziemy jeszcze mówić o tym w ramach tej jednostki.
Dynamika finansów z kolei bada
zjawiska związane z cenami giełdowymi
oraz inne działania finansowe
Dynamika grup zajmuje się badaniem
grup zwierząt bądź ludzi oraz ich
wspólnym działaniem w osiąganiu celu
Jest także dynamika społeczna,
która zawiera dynamikę konfliktów
i współpracy, na przykład, pomiędzy narodami.
Dynamika jest bardzo szeroką dziedziną.
Wielkim tryumfem matematyki
i nauki był moment, gdy stworzono ilościowe narzędzia
takie jak rachunek różniczkowy,
które znalazły zastosowanie do tak wielu
różnych zjawisk.
Teoria systemów dynamicznych jest ogólną dziedziną matematyki
zajmującą się systemami dynamicznymi,
w skrócie, to gałąź matematyki zajmująca się
opisem zmian systemów w czasie
i obejmuje wiele poddziedzin
takich jak: analiza, równania różniczkowe
mapy iteracji itd.
Wrócimy do tego w trakcie tej jednostki.
Dynamika systemu odnosi się do
sposobu, w jaki system ulega zmianie.
Teoria systemów dynamicznych dostarcza nam
zasób słów i narzędzi matematycznych
do opisu dynamik.
Pozwólcie, że podzielę się z Wami odrobiną historii teorii systemów dynamicznych
i wspomnę kilka znanych nazwisk.
Studia systemów dynamicznych na Zachodzie
rozpoczęły się w zasadzie od Arystotelesa.
Arystoteles wierzył, że istnieją
dwa zestawy praw. Jeden zestaw dotyczący ziemi,
gdzie ciała, w jego opinii, poruszają się
po liniach prostych, jedynie pod wpływem siły zewnętrznej.
Ciała spadają na ziemię w tempie
proporcjonalnym do ich ciężaru.
Wierzył natomiast, że istnieje oddzielny zbiór
praw fizycznych dla niebios.
Na przykład, inne planety oraz słońce
poruszają się wokół ziemi po doskonałych okręgach.
Arystoteles bazował w swych poglądach na logice i zdrowym rozsądku
oraz na szeregu dość naiwnych obserwacji.
Nie dostrzegał żadnej potrzeby
jakichkolwiek eksperymentów.
Dopiero po kilku tysiącach lat
ludzie zaczęli kwestionować jego poglądy.
Mikołaj Kopernik, dla przykładu, zaproponował
nowy zestaw praw dla niebios.
W jego teorii, Słońce pozostaje nieruchome
a planety krążą wokół niego.
Galileusz był z kolei pionierem metody eksperymentalnej,
w odniesieniu do analizy ruchu.
Dowiódł on doświadczalnie,
że większość praw ruchu Arystotelesa była błędna.
Izaaka Newton był twórcą współczesnej dynamiki.
Odkrył on większość zasad
których używamy do dziś, by ustalić
jak ciała poruszają się w polu grawitacyjnym.
Zaproponował on również radykalny pogląd,
że prawa dotyczące ruchu są takie same
dla ziemi jak i dla nieba.
Oznacza to, że grawitacja jest uniwersalną siłą,
działającą niezależnie od miejsca w kosmosie.
Newton, wraz z Leibnitzem, stworzył również
gałąź matematyki zwaną analizą matematyczną
która stała się podstawowym narzędziem
używanym do badania zmian w systemach
w czasie i przestrzeni.
Pierre-Simon Laplace był wielkim zwolennikiem
redukcjonizmu i determinizmu Newtona.
Przeczytam bardzo znany cytat Laplace'a,
który podsumowuje jego pogląd
na deterministyczny wszechświat, w którym wszystko
jest z zasady poznawalne.
Laplace powiedział:"Możemy wyobrazić sobie obecny stan kosmosu
jako wynikający z jego przeszłości oraz
przyczyny determinującej jego przyszłość:
intelektu, który w danym momencie zna wszystkie siły
wprawiające naturę w ruch
oraz wszystkie pozycje obiektów, z którego natura jest zbudowana.
Taki intelekt, gdyby był wystarczająco wielki
by przeanalizować wszystkie dane, mógłby
przeanalizować i zawrzeć w jednej formule
ruch największych ciał we wszechświecie
oraz najmniejszych jego atomów.
Dla takiego intelektu
nie istniałaby żadna niepewność, a przyszłość
tak jak przeszłość, byłaby odkryta
przed jego oczyma."
Podczas gdy Laplace pisał te słowa we wczesnych latach XIXw.
my możemy dzisiaj wyobrazić sobie, że tym intelektem mógłby być
superkomputer, który byłby w stanie
stworzyć model wszystkich cząstek we wszechświecie
oraz sił na nie działających
i byłby dzięki temu zdolny do przewidzenia
jakiegokolwiek zdarzenia.
Pogląd ten, o możliwości absolutnego określenia przyszłości był powszechnie akceptowany
do końca XIX, lub nawet początków XX wieku.
Mimo tego, wcześniej już francuski matematyk
Henri Poincare, rozpoczął spekulacje
na temat przyczyn, dla których tak doksonałe
przewidywania mogą być niemożliwe.
Był pionierem współczesnej teorii systemów dynamicznych
oraz pojęcia chaosu.
Pozwólcie, że przytoczę tu jego najsłynniejszą wypowiedź.
Poincare powiedział: "Gdybyśmy znali dokładnie prawa
natury i stan wszechświata
w momencie początkowym
moglibyśmy przewidzieć dokładnie stan tegoż świata
w następnym momencie."
To zgadza się z poglądem Laplace'a.
Ale Poincare kontynuuje: "Ale nawet gdyby
prawa naturalne nie miały przed nami tajemnic,
to i tak sytuację początkową możemy poznać
tylko w przybliżeniu.
Jeśli dzięki temu moglibyśmy przewidzieć
następną chwilę z takim samym przybliżeniem
to osiągnęlibyśmy to, co chcemy
i moglibyśmy powiedzieć, że przewidzieliśmy
określone zjawisko. Że jest ono zdeterminowane
przez prawa natury. Ale nie zawsze tak jest.
Może się zdarzyć, że małe różnice
w warunkach początkowych spowodują znaczące zmiany
w efekcie końcowym. Mały błąd na początku
spowoduje bardzo duży błąd w efekcie końcowym.
Wtedy przewidywanie staje się niemożliwe."
Cytat ten wprowadza pojęcie zwane
zależnością wrażliwą na warunki początkowe
Rozważmy ideę Laplace'a.
Jeżeli, w ściśle określonym czasie
znamy położenie i prędkość każdego
atomu we wszechświecie, to możemy użyć
praw Newtona do dokładnego przewidzenia
prędkości i położenia atomów w ścisłe
określonym czasie w przyszłości.
Ale, załóżmy, że nie znamy położenia
atomów tak dokładnie. Przypuśćmy
że znamy ją do któregoś miejsca po przecinku.
To, o czym mówi Poincare
to, że istnieją systemy, nie wszystkie, ale niektóre
w których, jeśli mamy błąd na którymś miejscu po przecinku
w określeniu prędkości, to nasza kalkualcja
w końcu zawiedzie nas w końcu na kompletne bezdroża.
Może tu chodzić o błąd kilku dziesiątych
setnych, tysięcznych, albo jakikolwiek jaki sobie wyobrazimy
Jeżeli system jest wrażliwy
na warunki początkowe,
na przykład może tu chodzić o prędkości
cząstek oraz o ich położenie
w określonym czasie,
to jeśli system jest wrażliwy na te warunki,
to przy jakimkolwiek błędzie
w początkowych wartościach
przewidywanie staje się niemożliwe.
Twierdzenie Poincare'a na temat wrażliwości na warunki początkowe
ilustruje dobrze słynny
przykład tzw. efektu motyla.
W tym hipotetycznym przykładzie, mały motyl
macha swymi skrzydłami w Tokio.
To powoduje zmianę w położeniu i prędkości
kilku cząstek powietrza. Jeśli teraz cały
system pogodowy jest wrażliwy na warunki początkowe
a ci, którzy przygotowują prognozy
nie wezmą motyla pod uwagę, to po pewnym czasie
ich prognozy będą błędne, a sam motyl
może de facto spowodować huragan.
Nie oznacza to, że coś takiego rzeczywiście się dzieje
albo że pogoda jest wrażliwa
na warunki początkowe; Poincare stwierdza po prostu,
że są systemy, wykazujące takie właściwości
i nie wiemy czym one są.
Przyjrzymy się prostemu przykładowi
już za chwilę. A teraz możemy
pokusić się o definicję chaosu.
Chaos jest słowem używanym w języku potocznym
i oznacza z grubsza nieporządek, ale w teorii
systemów dynamicznych, oznacza ono
coś ściśle określonego. To szczególny typ
dynamiki systemu. To jeden ze sposobów
w jaki zmienia się system. Definiujemy go jako
wrażliwość na warunki początkowe.
Sprecyzujemy to w dalszym toku
naszych rozważań.
A teraz, możecie znać
Doktora Iana Malcolma, który pytał:
"Nie słyszałeś o teorii chaosu?
Równania nieliniowe? Dziwne atraktory?"
Jeśli brzmi to dla Was znajomo
to zapewne go spotkaliście.
Był postacią z książki, a potem filmu
z lat 90tych pod tytułem "Park Jurajski".
Możecie wiedzieć, lub nie, ale kontynuacja
"Parku Jurajskiego" również napisana
przez Michaela Creightona i sfilmowana,
nazywała się "Utracony świat".
Część "Utraconego świata" dzieje się
w Santa Fe Institute.
W prologu mamy "Życie na krawędzi chaosu",
Creighton pisze, że instytut w Santa Fe
znajduje się w szeregu budynków
na Canyon Road, które wcześniej
mieściły żeński klasztor. To prawda.
Seminaria w Instytucie odbywały się
w pokoju, który był kiedyś kaplicą.
Stojąc na podium, oświetlony snopem
światła słonecznego,
Ian Malcolm, robi dramtyczna pauzę
zanim zacznie kontynuować swój wykład,
ubrany całkowicie na czarno, wspierając się o laskę,
Malcolm sprawia wrażenie wielkiej powagi.
Znany był w Instytucie ze swych
niekonwencjonalnych analiz
i swej tendencji do pesymizmu.
Jego wystąpienie nazwane przez Augusta: "Życie na krawędzi chaosu"
było typowym przykładem jego myślenia.
W przemówieniu, Malcolm przedstawił swoją analizę teorii chaosu
i sposobu w jaki stosuję się do ewolucji.
Gdy ukazała się jego książka, oraz film
wielu ludzi zauważyło, że istnieje
miejsce o nazwie Santa Fe Institute.
Tak się złożyło, że byłam w instytucie
w latach 90tych jako członek rezydent,
i pewnego dnia bibliotekarz z instytutu
przyszedł na lunch i usiadł z grupą
członków wydziałów i habilitantów
i wspomniał humorystycznie
że ktoś napisał list
proszący o prace Iana Malcolma.
W wyniku tego, oczywiście, habilitanci
jak to habilitanci, postanowili zrobić rzecz oczywistą,
to znaczy, założyli stronę internetową Iana Malcolma.
I tak oto mamy stronę Iana Malcolma w Santa Fe Institute,
na której są niektóre jego prace,
zakres zainteresowań, itd.
i dopiero Rada Zarządu
Instytutu zdecydowała, że utrzymywanie
strony www Iana Malcolma jest nieprofesjonalne
i należy ją zamknąć.
Chaos jest bardzo ważnym obszarem w teorii systemów dynamicznych
i ukazuje się w wielu różnych kontekstach.
Możemy zobaczyć chaos jako istotny
element różnych dziedzin takich jak:
aktywnośc mózgu, wzrost populacji,
dane finansowe, itd.
Zamierzamy przyjrzeć się zjawisku chaosu
we wzroście populacji, na bazie bardzo
prostego modelu wzrostu.
Postawimy pytanie,
o to jaka jest różnica pomiędzy chaosem, a przypadkowością,
które to pytanie jest bardziej wnikliwe
niż mogłoby sie komuś wydawać.
Będziemy badać to zagadnienie
za pomocą idei "chaosu deterministycznego".