Hallo iedereen! De tweede unit gaat over dynamica en chaos.
Dynamica is de wetenschap over hoe alles
aan verandering is onderheven.
Zoals ik eerder al beschreef, is een fundamenteel aspect
van het begrijpen van complexe systemen,
het karakteriseren van hun dynamiek. Dat wil zeggen:
Hoe hun complexe gedrag zal uitpakken en
hoe dit verandert in de tijd.
Eerst geef ik een korte beschrijving van de geschiedenis van Dynamica.
Daarna kijken wij naar het idee van 'iteratie',
En hoe iteratie van simpel gedrag aanleiding kan geven
tot het ontstaan van complexe patronen.
We zullen wat tijd besteden aan het bespreken van het
cruciale idee van 'non- lineariteit',
en hoe non- lineaire interacties de crux vormen rond complexe systemen.
We zullen daarna grondig gaan kijken naar een simpel model van populatiegroei
dat aanleiding geeft tot onverwacht gedrag en ik zal daarbij aangeven
wat wordt bedoeld met 'chaos', ook wel aangeduid als:
Gevoelige afhankelijk voor initiële condities.
Dynamica is de algemene studie van hoe systemen veranderen met de tijd.
Ik zal je wat voorbeelden geven van het soorten dingen die mensen bestuderen
onder de vlag van dynamica.
Planetaire dynamica bestudeert de beweging van planeten
onder invloed van de zwaartekracht en karakteriseert hun baan,
afwijkingen van hun baan, eclipses, enzovoort.
Vloeistof dynamica bestudeert de stroming van vloeistoffen,
zoals de studie van oceaanstromingen, orkanen, gaswolken in de lucht
en turbulente luchtstromingen, bijvoorbeeld de stromingen
die je wellicht ervaart wanneer je in een vliegtuig vliegt.
Elektronische dynamica bestudeert de stroming van elektriciteit
in stroomkringen.
Klimaat dynamica kijkt hoe het klimaat in de tijd verandert met betrekking tot
temperatuur en druk, enzovoort.
Groepsdynamica kijkt naar hoe menigten van mensen zich gedragen en
dat kan of op een wanordelijke dan wel op een ordelijke manier gebeuren,
Wanneer iemand bijvoorbeeld "brand" roept in een overvolle kamer,
kunnen mensen elkaar mogelijk gaan vertrappen.
Populatie dynamica kijkt naar hoe populaties in de tijd variëren;
daar zullen we het in deze Unit vaak over hebben.
Financiële dynamica kijkt naar fenomenen die gerelateerd zijn aan bijvoorbeeld
de aandelenmarkt of andere financiële activiteiten.
Groep dynamica kijkt naar hoe groepen met dieren
of mensen zich vormen en
hoe ze samenwerken om bepaalde taken uit te voeren.
Er is ook veel werk rond Sociale dynamica, waaronder de dynamiek van conflicten en
de dynamiek van samenwerking, bijvoorbeeld
die van verschillende naties onderling.
Zoals je kunt zien, is dynamica een heel algemeen vakgebied
en het is een heuse triomf van de wetenschap van wiskunde en natuurkunde
om kwantitatieve tools te ontwikkelen, zoals differentiële vergelijkingen,
die toegepast kunnen worden om zoveel verschillende soorten fenomenen
te verklaren.
Dynamische systeem theorie is het algemene gebied van de Wiskunde
dat zich bezighoudt met dynamische systemen.
In het kort is het de tak van de Wiskunde die beschrijft hoe systemen
veranderen in de tijd.
En het heeft vele zijtakken, waaronder rekenen, differentiaal vergelijkingen,
iteratieve kaarten, enzovoort.
We zullen het er in deze unit nog over een aantal hiervan hebben.
De dynamiek van een systeem verwijst naar de mate waarin een systeem verandert.
Dynamische systeem theorie geeft ons een het vocabulaire
en een set van wiskundige tools om de dynamiek te beschrijven.
Laat mij een korte beschrijving geven van de geschiedenis van de
dynamische systeem theorie geven en een aantal van de
historisch grote namen noemen.
In het Westen begon de studie van dynamische systemen pas echt met
Aristoteles. Aristoteles geloofde dat er twee aparte setjes wetten bestaan.
Een setje voor de Aarde, waar objecten zich in een rechte lijn bewegen,
aldus Aristoteles, en alleen onder druk,
En dat dingen op de grond vallen met een snelheid die afhankelijk is
van hoe zwaar ze zijn.
Hij geloofde dat er een apart setje natuurkundige wetten voor de hemel was.
Bijvoorbeeld: Andere planeten en de zon draaien in een perfecte baan om de Aarde.
Aristoteles baseerde zijn zienswijzen op logica, gezond verstand en
een paar naïeve observaties.
Hij zag er niet echt het nut van in om systematische experimenten uit te voeren.
Pas na een paar duizend jaar begonnen mensen zijn zienswijzen
aan de kaak te stellen.
Nicolaas Copernicus, bijvoorbeeld, stelde een nieuw setje wetten voor de hemel voor.
In zijn theorie is de zon stationair en draaien de planeten
er in een baan om heen.
Galileo was een pionier van de experimentele methode,
voor zover dat de studie van bewegingen omvat.
Hij bewees experimenteel dat de meeste wetten van bewegingen van
Aristoteles onwaar waren.
Isaac Newton is de grondlegger van de moderne wetenschap van dynamica.
Newton ontdekte veel van wat wij vandaag de dag gebruiken onder de fysica van
beweging onder invloed van zwaartekracht te begrijpen.
Hij stelde het -toen radicale- idee voor dat de wetten van de zwaartekracht
hetzelfde zijn op Aarde en in het heelal.
Dat betekent dat zwaartekracht een universele kracht is die zich hetzelfde gedraagt,
ongeacht waar in het Universum.
Newton, samen met Leibniz, ontwikkelde ook wel de tak van de Wiskunde
die wij meetkunde noemen.
Sindsdien is dit het primaire gereedschap om te bestuderen hoe systemen zich
ontwikkelen in tijd en ruimte.
Pierre Simon Laplace was een groot voorstander van Newtoniaans reductionisme en determinisme
Ik zal nu een hele bekende quote van hem voorlezen die zijn zienswijze op de deterministische universum samenvat,
waarin alles bekend en principaal is.
Laplace zei:
" We mogen de huidige toestand van het universum beschouwen als het effect van haar verleden,
en de veroorzaker van haar toekomst.
Een intelligentie dat op een zeker moment alle krachten kent die de natuur in gang zet,
evenals alle posities van alle onderdelen waarmee de natuur is opgebouwd, en
wanneer dit intelligentie ook groot genoeg zou zijn om al deze data aan een analyse te onderwerpen, dan zou het
in een enkele formule de bewegingen van de grootste lichamen van het universum en
die van de allerkleinste atoom kunnen omvatten;
voor een dergelijk intellegentie zou niets meer onzeker zijn en
zou de toekomst net als het verleden voor hem zichtbaar worden gemaakt.
Hoewel Laplace dit schrijf in de vroege 18e Eeuw, kunnen wij ons vandaag de dag voorstellen dat die Intelligentie
een computer zou kunnen zijn, een supercomputer, die instaat is om alle deeltjes van het universum te modelleren, bijvoorbeeld,
en de krachten die daarop inwerken en dat instaat zou zijn om allerlei voorspellingen over van alles en nog wat.
Deze zienswijze, van de mogelijkheid van volledige voorspelbaarheid,
werd breed geaccepteerd tot en met de late jaren 30 en het vroege begin van de 20ste Eeuw,
hoewel daarvoor Henri Poincaree, een Franse wiskundige, al begon te speculeren over mogelijke redenen waarom een dergelijke perfecte voorspelling niet mogelijk zou kunnen zijn.
Hij was een pionier in de Moderne Dynamische Systeem theorie, en het idee van chaos.
Laat ik zijn meest beroemde citaat geven:
Poincare zei:
"Wanneer wij precies de wetten van de natuur kende en de situatie van het universum op een initieel moment,
dan zouden wij met precisie de situatie van dat universum op een opeenvolgend moment kunnen voorspellen, maar
zelfs al hadden de wetten van de natuur geen geheimen meet voor ons, dan
zouden wij nog steeds de initiele situatie maar 'bij benadering'' weten.
Als dat ons instaat stelde de opeenvolgende situatie met dezelfde nauwkeurigheid (bij benadering) te voorspellen,
dan is dat alles wat wij nodig hebben, en dan zouden wij moeten zeggen dat wij het fenomeen hebben voorspelt,
dat het wordt aangestuurd door wetten.
Maar dat is niet altijd het geval;
het kan namelijk gebeuren dat kleine verschillen in de initiele uitgangspunten,
hele grote verschillen veroorzaken in de eindsituatie.
Een kleine fout in het eerste, veroorzaakt een enorme fout in de laatste.
Voorspellingen doen wordt onmogelijk..."
Dit citaat illustreert het idee van 'gevoelige afhankelijkheid van initiële uitgangspunten'.
Stel je het idee van Laplace voor;
Wanneer je op een bepaald tijdstip de exacte positie en snelheid van elk atoom in het Universum weet,
dan zou je de wetten van Newton kunnen gebruiken om precies te kunnen voorspellen wat de exacte positie en snelheid van de atomen zou zijn op een bepaald moment in de toekomst.
Maar stel je voor dat je niet precies weet wat de exacte posities zijn, stel je voor dat je alleen de posities weet tot een bepaald aantal decimalen nauwkeurig.
Wat Poincare zegt is dat sommige systemen zijn, niet alle maar sommige, waarbij
wanneer je ook maar een decimaal verkeerd hebt, voor de positie of de snelheid, je er met je berekeningen uiteindelijk volkomen naast zult zitten.
En dit kan de tiende decimale plaats zijn, of de honderdste, de duizendste of hoever je ook maar wilt gaan,
Het systeem, wanneer het gevoelig is voor initiële omstandigheden, waarbij de initiële omstandigheden bijvoorbeeld de posities of snelheden van alle atomen op een bepaald moment kan zijn.
Wanneer het gevoelig is op die manier, wanneer je niet precies exacte waarden voor de initiële omstandigheden weet, wordt het doen van voorspellingen onmogelijk.
Poincare's idee van 'gevoeligheid voor initiële omstandigheden', wordt geïllustreerd door het zogeheten 'Vlindereffect'.
In dit hypothetische voorbeeld klapt een kleine vlinder in Tokyo met zijn vleugels, en dit veroorzaak een hele kleine verandering in de
snelheid en positie van een paar luchtmoleculen, maar wanneer het hele
weersysteem 'gevoelig is voor initiële omstandigheden', en de weervoorspellers de vlinder niet in meerekenen,
dan zullen hun voorspellingen er na een tijdje behoorlijk naast zitten.
En de vlinder kan wellicht zelfs een orkaan veroorzaken.
Hiermee is niet gezegd dat dit echt zal gebeuren of dat het weersysteem 'gevoelig is voor initiële omstandigheden',
maar Poincare wil hier gewoon meezeggen DAT er aantal systemen zijn met deze eigenschap, maar weten niet wat die systemen omhelsen.
We zullen verderop in deze Unit naar een eentje kijken die simpel is.
Nu kunnen wij het idee van 'chaos' definiëren.
Chaos wordt in alledaags taalgebruik gebruikt om grofweg 'wanorde' aan te geven.
Maar in de Dynamische Systeem Theorie betekent het iets specifieks, het is een bepaald type van de dynamica van een systeem,
het is een manier waarop een systeem kan veranderen.
En het wordt gedefnieerd als 'gevoelige afhankelijk voor initiële omstandigheden'.
We zullen dit later nog preciezer beschrijven.
Mogelijk ben je bekend met deze meneer, Dr. Ian Malcolm, die vroeg:
''Heb je nog nooit gehoord van de Chaostheorie, non-lineaire vergelijkingen, vreemde aantrekkers (strange attractors)?"
Wanneer je dit bekend in de oren klinkt, dan heb je waarschijnlijk echt gezien, hij was een karakter in een boek en daarna een film 'Jurrasic Park', in de jaren '90.
Je weet misschien wel of niet dat het vervolg op 'Jurrasic Park', ook geschreven door Michael Crichton, en die ook omgezet is in een film
de 'Lost World'' heet. En een deel van de 'Lost World' vond zelfs plaats op het Santa Fe Instituut.
In de Proloog staat 'Leven op de rand van chaos', waar Crichton schrijft:
''Het Santa Fe Instituut was gehuisvest in een aantal gebouwen op Canyon Road, die eerder een klooster waren geweest. "
(Dat is inderdaad waar)
"En de seminars van het Instituut werden gehouden in een kamer die eerder dienst deed als kapel."
(Ook dat is waar)
"Nu, staand voor het podium, met een schacht aan zonlicht dat op hem schijnt,
pauzeerde Ian Malcolm dramatisch voordat hij zijn voordracht voortzette.
Geheel in het zwart gekleed, leunend op een stok, gaf Malcolm de impressie van absolute ernst af.
Hij was binnen het Instituut bekend om zijn onconventionele analyses
en zijn neiging tot pessimisme.
Zijn voordracht, deze Augustus, getiteld 'Leven op de rand van Chaos', was typisch voor zijn manier van denken.
Hierin presenteerde Malcolm zijn idee van de Chaostheorie, zoals dat van toepassing is op de evolutie".
Nou, nadat dit boek uitkwam en nadat de film uitkwam, merkten veel mensen op dat er echt een plek genaamd 'Santa Fe Instituut' bestaat.
En, ik was daar toevallig midden jaren 90, als een inwonend lid van de faculteit, en op een dag kwam de bibliothecaris van het 'Santa Fe Instituut' lunchen,
en wij zaten met een groep van faculteit leden en postdocs op het Instituut, en zij noemde - bij wijze van humor- dat iemand haar een brief had geschreven
met het verzoek voor de papers van Ian Malcolm.
Dus natuurlijk, postdocs zijnde, besloten het meest voor de hand liggende ding te doen,
en dat was het maken van een website voor Ian Malcolm.
Hier was zijn website op het Santa Fe Instituut. De website bevatte een aantal van zijn papers en zijn onderzoeksinteresses, enzovoort...
Het was pas nadat het bestuur van het Santa Fe Instituut besloten had dat dit onprofessioneel was, dat de website uit de lucht werd gehaald.
Chaos is een heel belangrijk gebied in de Dynamische Systeem Theorie en het komt te voorschijn in veel verschillende contexten.
We zien al die verschillende gebieden, waarin Chaos wordt gezien. Zoals Hersenactiviteit, Populatiegroei, Financiële data, enzovoort.
We gaan kijken naar een fenomeen van chaos in populatiegroei.
En het is een heel simpel model van populatiegroei.
We gaan ons buigen over de vraag: Wat is het verschil tussen chaos en willekeurigheid?
En dat blijkt een veel subtielere vraag te zijn dan je zou denken.
En we gaan het bestuderen aan de hand van het idee van 'deterministische chaos'.