Ciao a tutti.
La nostra seconda unità riguarda dinamica e chaos.
La dinamica è la scienza che studia come mutano le cose.
Come ho spiegato precedentemente, un aspetto fondamentale
per capire i sistemi complessi
è caratterizzare la dinamica, ovvero come
il comportamento complesso si manifesta e come
cambia nel tempo. Come prima cosa,
introdurrò brevemente la storia della dinamica come scienza.
Poi, guarderemo al concetto di iterazione
e come l'iterazione di semplici comportamenti
può dar origine a modelli complessi.
Spenderemo un po' di tempo
nel trattare la nozione cruciale
di non linearità e come interazioni non lineari
formino dei sistemi complessi.
Guarderemo poi con attenzione
un semplice modello di crescita della popolazione che
dà origine a comportamenti inaspettati.
Spiegherò cosa si intende per "chaos",
anche noto come sensibile dipendenza
dalle condizioni iniziali.
La dinamica è la scienza che studia in generale come
i sistemi variano nel tempo. Come esempio mostrerò
i tipi di argomenti che
la gente studia e classifica della
dinamica. La dinamica dei pianeti studia
il movimento dei pianeti soggetto alla forza
di gravità e caratterizza le relative orbite,
deviazioni dalle orbite, eclissi
e così via. La dinamica dei fluidi studia il flusso
dei fluidi e include lo studio di
flussi oceanici, correnti, uragani, nuvole di gas
nello spazio, moti d'aria turbolenti, come quelli
che si possono provare durante un volo
in aereo. La dinamica elettrica studia
il flusso di elettricità nei circuiti.
La dinamica del clima guarda ai cambiamenti
del clima nel tempo, in termini di temperatura,
pressione e così via. La dinamica delle folle studia
come gruppi di gente agiscono, e le azioni
possono essere sia ordinate che avvenire in maniera
disordinata, come ad esempio quando qualcuno
"Al fuoco!" in una stanza affollata: la gente
potrebbe rimanere ostacolata. La dinamica della popolazione
guarda ai cambiamenti della popolazione nel tempo,
e ne parleremo un po' in questa
unità. La dinamica finanziaria studia
fenomeni legati ai prezzi delle azioni, o
altre attività finanziarie.
La dinamica dei gruppi guarda come gruppi
di animali o di persone si formano e come lavorano
assieme per realizzare un compito. Esistono
anche molti studi sulle dinamiche sociali che
includono la dinamica dei conflitti e
la dinamica della cooperazione (ad esempio, tra nazioni).
La dinamica è un campo davvero generale.
C'è stato un grande trionfo da parte di matematici
e scienziati per riuscire a sviluppare
strumenti quantitativi, come ad esempio equazioni differenziali,
che possano essere applicati alla spiegazione di così tanti
differenti fenomeni . La teoria dei sistemi dinamici
è un area generica della matematica
che riguarda sistemi dinamici.
E' una branca della matematica che
descrive come i sistemi cambiano nel tempo,
e include molte sottobranche,
tra cui: calcolo, equazioni differenziali,
mappe iterative, etc. Parleremo
di alcune di esse in questa unità.
La dinamica di un sistema si riferisce al
modo in cui il sistema cambia.
La teoria dei sistemi dinamici ci fornisce
un vocabolario e un insieme di strumenti matematici
per descrivere la dinamica. Lasciatemi prima dare un breve cenno
alla storia della teoria dei sistemi dinamici
e citare alcuni importanti nomi storici.
In Occidente, lo studio della
dinamica è cominciato con
Aristotele. Aristotele riteneva che ci fossero
due insiemi separati di leggi, un insieme per la Terra,
dove gli oggetti si muovono in linea retta
secondo Aristotele, e solo soggetti a
forze, e le cose cadono in terra
ad una velocità che dipende dal peso che hanno.
E credeva esistesse un insieme separato
di leggi fisiche per i cieli.
Per esempio, gli altri pianeti e il sole
orbitavano in cerchi perfetti attorno alla Terra.
Aristotele basava la sua visione su logica
e senso comune e alcune osservazioni di base.
Non vide la necessità di
condurre esperimenti sistematici. Solo dopo
un paio di migliaia di anni, gli scienziati
cominciarono davvero a porsi delle domande.
Niccolò Copernico, per esempio,
propose un nuovo insieme di leggi per i cieli.
Nella sua teoria, il sole è fisso
e i pianeti orbitano attorno ad esso. Galileo
fu il pioniere del metodo sperimentale,
così come si è interessato dello studio del moto.
Egli dimostrò sperimentalmente che la maggior parte
delle leggi di Aristotele sul moto non erano valide.
Isaac Newton è stato il fondatore della scienza moderna
della dinamica. Newton ha scoperto
la maggior parte delle leggi che utilizziamo oggi
per capire la fisica del moto soggetto alla forza
di gravità. Egli propose una visione rivelatasi radicale,
per cui le leggi del moto sono le stesse
sulla Terra e nell'universo. Cioè,
la gravità è una forza universale che agisce
allo stesso modo senza distinzione di dove ci si trovi nell'universo.
Newton, assieme a Leibniz, inventarono anche
la branca della matematica denominata
calcolo, che è stata lo strumento principale
per studiare come i sistemi
cambiano nel tempo e nello spazio.
Pierre-Simon Laplace fu un gran sostenitore
del riduzionismo e determinismo newtoniano.
Qui è mostrata una sua citazione davvero famosa
che riassume la sua visione di
universo deterministico in cui ogni cosa
è nota in principio. Laplace disse:
"Possiamo considerare lo stato attuale
dell'universo come l'effetto del suo passato
e la causa del suo futuro, un intelletto che
in un certo momento conosce tutte le forze
he pongono la natura in movimento, e tutte
le posizioni di tutti gli elementi di cui la natura
è composta. Se questo intelletto è anche
abbastanza ampio da poter sottoporre questi dati
ad analisi egli sarebbe in grado di abbracciare con una singola
formula i movimenti dei più grandi
corpi dell'universo e quelli del
più piccolo atomo. Per tale intelletto
niente sarà incerto e il futuro
come il passato sarà presente
davanti ai suoi occhi. Laplace ha scritto questo nei
primi anni del 1800. Potremmo immaginare oggi
che l'intelletto possa essere un computer,
un supercomputer in grado di
modellare tutte le particelle nell'universo
ad esempio, e le forze che agiscono
su di esse, e di predire ogni cosa.
Questa visione della possibilità di
predire completamente fu ampiamente accettata
fino alla fine del IX secolo e l'inizio del XX.
Anche se prima, Henri Poincarè,
matematico francese, iniziò ad investigare
su possibili motivi per cui tale perfetta
predizione possa non essere possibile. Egli fu
un pioniere della teoria moderna dei sistemi dinamici
del concetto di chaos.
Vi mostro la sua più famosa citazione.
Poincarè diceva: "Se conoscessimo esattamente le leggi
della natura e la situazione
dell'universo nel momento iniziale, noi potremmo
predire esattamente la situazione di quello stesso
universo in un momento successivo". E fin qui è
in linea con ciò che aveva enunciato Laplace.
Ma andò oltre: "Anche se si verificasse che
leggi naturali non hanno più
segreti per noi, noi potremmo ancora
conoscere la situazione iniziale solo in maniera approssimata".
Se questo ci consentisse di predire la
situazione successiva con la stessa
approssimazione, questo è tutto ciò
di cui abbiamo bisogno e potremmo dire che il fenomeno
è stato predetto o che è governato da
leggi. Ma non è sempre così. Potrebbe
accadere che piccole differenze nelle
condizioni iniziali producano grandi cambiamenti
nei fenomeni finali. Un piccolo errore nei
primi produrranno un errore enorme
negli ultimi. La previsione diventa
impossibile. Questa citazione presenta il
concetto di dipendenza sensibile dalle
condizioni iniziali. Considerate l'idea di Laplace.
Se in un preciso istante, voi conoscete
la posizione e la velocità esatta di ogni
atomo nell'universo, potete
utilizzare le leggi di Newton per prevedere esattamente
la posizione e la velocità che avranno gli atomi
in un preciso istante del futuro.
Ma, supponiamo che non conosciamo esattamente
le posizioni. Supponiamo che le conosciate
con una certa precisione di numeri decimali.
Quello che dice Poincare è che ci sono
alcuni sistemi, non tutti ma qualcuno, in cui
cè una piccola differenza decimale
per la posizione o la velocità, allora il calcolo
sarà molto diverso dalla realtà.
Potrebbe essere la decima posizione decimale, la
centesima, la millesima, o comunque
quella che si vuole, Il sistema, se
è sensibile alle consizioni iniziali,
dove le condizioni iniziali, ad
esempio, sono le posizioni e
le velocità di ciascun atomo, ad un certo
istante, e se è sensibile in quel
senso, allora non si può conoscere esattamente
il valore delle consizioni iniziali,
e la previsione diventa impossibile. Il concetto
di Poincarè di dipendenza sensibile dalle
condizioni iniziali è illustrata dal famoso
effetto farfalla. In questo
ipotetico esempio, una piccola farfalla
sbatte le ali a Tokio. Questo provoca
la modifica della posizione e della velocità di
alcune molecole d'aria. Se il sistema nella sua globalità
è sensibile alle condizioni iniziali,
e i previsori non tengono in conto
il battito della farfalla, dopo un po' di tempo
le previsioni saranno sbagliate, e la
farfalla potrebbe creare un uragano.
Non è detto che questo avvenga veramente,
o che il tempo sia sensibile alle
condizioni iniziali, Poicare dice solamente
che ci sono sistemi con
questa proprietà, e non sappiamo
come sono. Ne vedremo uno
più vanti in questa unità. Ora possiamo
definire il concetto di caos. Il caos è utilizzato
nel linguaggio comune con il significato
di disordine, ma nella teoria
dei sistemi dinamici, significa qualcosa
di specifico. C'è un particolare tipo di
dinamica di un sistema. E' un modo
in cui il sistema si modifica. E' definito
come dipendenza sensibile alle
condizioni iniziali. Lo vedremo un po' più
precisamente più avanti. Dovreste
aver sentito parlare di questo personaggio,
il dott. Ian Malcom, che chiese: "Avete mai sentito
parlare della teoria del caos? Di
equazioni non lineari? Strani attrattori?"
Se questo non vi è nuovo, forse
lo avete visto veramente. E' stato un personaggio
di un libro e di un film,
Jurassic Park, negli anni '90.
Forse non sapete che il sequel
di Jurassic Park, pure scritto da Michael
Creighton, e diventato film,
si chiamava The Lost World.
Una parte è stata girata
al Santa Fe Institute. Nel Prologo,
"Life at the Edge of Chaos",
Creighton scrisse che il Santa Fe
Institute è in una serie di
edifici su Canyon Road in cui prima
c'era un convento. Questo è
vero. Le lezioni venivano
fatte in una stanza che prima era una cappella.
Davvero. Stando sul podio
illuminato da un raggio di sole,
Ian Malcom, con pause
significative durante il discorso,
vestito completamente di nero, appoggiandosi a
un bastone, Malcom dava un'impressione
di severità. Era famoso
per i suoi studi non convenzionali e per la sua
inclinazione al pessimismo. Il suo discorso
intitolato Life at the edge of chaos
era tipico di questo modo di pensare. In esso,
Malcom presentò il suo studio sulla teoria
del caos applicata all'evoluzione.
Quando il libro fu pubblicato, e il film
uscì, molte persone notarono che
c'era un luogo che si chiamava Santa Fe
Institute. C'ero a metà
degli anni '90, come professore,
e un giorno la bibliotecaria
del Santa Fe Institute venne a pranzo e si sedette
con un gruppo di professori e ricercatori
e disse ridendo
che qualcuno aveva scritto una lettera
chiedendo informazioni sui paper del Professor Ian Malcom
Quindi i ricercatori,
essendo appunto ricercatori, decisero la cosa ovvia
di fare il sito web di Ian Malcom.
Ecco il sito web qui al Santa Fe
Institute, che ha alcuni paper
i suoi interessi e così via,
e solo dopo la commissione
decise che
non era professionale
e chiuse la pagina web.
Il caos è un argomento molto importante della teoria
dei sistemi dinamici e tocca diversi
contesti. Potete vedere i diversi argomenti
nei quali si parla di caos come
l'attività cerebrale, la crescita della popolazione,
i dati finanziari, e così via.
Vedremo i fenomeni
del caos nella crescita della popolazione,
in un modello di crescita molto semplice.
Risponderemo alla domanda,
"Che differenza c'è fra caos e
casualità?". Che è una domanda
più sottile di ciò che si puà pensare.
Lo scopriremo con il concetto di
"caos deterministico".