Unidad 2: Dinámica y Caos
Hola a todos!
Nuestra segunda unidad es sobre dinámica y caos.
Dinámica es la ciencia de como cambian las cosas.
Como describí antes
el aspecto fundamentale para entender sistemas complejos es caracterizar su dinámica
esto es: cómo se desarrolla su comportamiento complejo y como cambia en el tiempo.
Primero, daré una breve historia de la ciencia de la dinámica.
Luego estudiaremos la noción de iteración,
y cómo iterar comportamientos simples puede resultar en patrones complejos.
Pasaremos un rato discutiendo la noción crucial de No-Linealidad
y cómo las interacciones no-lineales forman las bases de sistemas complejos.
Luego nos adentraremos en un modelo simple de crecimiento de poblaciones
que resulta en un comportamiento inesperado,
y explicaré lo que se quiere decir con "Caos"
también conocido como Dependencia Sensible a Condiciones Iniciales.
La Dinámica es el estudio general de cómo cambian los sistemas en el tiempo.
Les mostraré algunos ejemplos de los temas que se estudian en la dinámica.
La dinámica planetaria estudia el movimiento de los planetas bajo la fuerza de gravedad
y caracteriza sus órbitas, desviaciones de las órbitas, eclipses... etc.
La dinámica de fluidos estudia el flujo de fluidos
e incluye cosas como el estudio de mareas oceánicas, huracanes, nubes de gas en el espacio
y flujo de aire turbulento como el que experimentan los aviones.
La dinámica eléctrica estudia el flujo de electricidad en circuitos.
La dinámica climática estudia cómo cambia el clima en el tiempo
en términos de temperatura, presión y demás.
La dinámica de multitudes, estudia cómo actúan grupos de gente
y eso puede ser tanto de manera ordenada o desordenada.
Por ejemplo cuando alguien grita FUEGO! en un lugar con mucha gente
la gente puede irse en estampida.
La dinámica de población estudia como varían las poblaciones en el tiempo
estaremos hablando bastante de eso en esta Unidad.
Dinámica financiera estudia fenómenos relacionados a precios de acciones y demás actividades financieras.
Dinámica de grupos estudia como grupos de animales o humanos se forman
y cómo trabajan juntos para cumplir con algunas tareas.
También hay mucho trabajo en dinámicas sociales
que incluye la dinámica de los conflictos,
y la dinámica de cooperación, por ejemplo, entre países.
Como pueden ver, la dinámica es un campo MUY general
y ha sido un gran triunfo matemático y científico desarrollar herramientas cuantitativas
como ecuaciones diferenciales, que se pueden aplicar para explicar tantos fenómenos distintos.
La Teoría de Sistemas Dinámicos, es el área general de la matemática
que se ocupa de los sistemas dinámicos
En suma: es la rama de la matemática que describe cómo cambian los sistemas en el tiempo.
Incluye muchas subramas: cálculo, ecuaciones diferenciales, mapas iterados, etc.
Hablaremos de algunos de esos en esta unidad.
La dinámica de un sistema se refiere a la manera en la que el sistema cambia
La teoría de sistemas dinámicos nos da un vocabulario y un conjunto de herramientas matemáticas
para describir la dinámica.
Permítanme dar una historia breve de la teoría de sistemas dinámicos
y mencionar algunos de los "grandes nombres" históricos.
En occidente, el estudio de la dinámica empezó realmente con Aristóteles.
Aristóteles creía que habían dos conjuntos distintos de leyes:
uno para la Tierra, donde los objetos se movían en líneas rectas, según Aristoteles,
y sólo bajo la acción de fuerzas, y las cosas caían al piso a una razon dependiendo de qué tan pesados fueran.
El creía que había otro conjunto de leyes físicas para el cielo
por ejemplo, los otros planetas y el sol orbitaban en círculos perfectos alrededor de la Tierra.
Aristóteles, basaba sus ideas en la lógica, el sentido común, y algunas observaciones ingenuas.
Él no veía la necesidad de hacer experimentos sistemáticos
hasta un par de miles de años después la gente empezó a cuestionar estas teorías.
Nicolás Copérico, por ejemplo, propuso un nuevo conjunto de leyes para los cielos.
En su teoría, el Sol está estacionario y los planetas orbitan a su alrededor.
Galileo fue un pionero del método experimental,
en área de estudio del movimiento.
Él probó experimentalmente que la mayoría de las leyes del movimiento de Aristóteles eran FALSAS
Isaac Newton fue el fundador de la ciencia de la dinámica moderna.
Newton descubrió mucho de lo que utilizamos hoy en día
para entender la física del movimiento bajo la fuerza de gravedad
propuso la, entonces radical, teoría de que las leyes de movimiento son las mismas en la Tierra y en los cielos
Es decir, la gravedad es una fuerza universal que actúa de igual forma
sin importar dónde, en el universo.
Newton, junto con Leibnitz, inventaron también la rama de las matemáticas que llamamos cálculo,
esta ha sido la herramienta primaria que se utiliza desde entonces para estudiar
como cambian los sistemas en el tiempo y el espacio.
Pierre-Simon Laplace fue un gran proponente del reduccionismo Newtoniano y el determinismo.
Leeré una cita muy famosa de él, que resume su visión de un universo determinista,
en el que todo se puede saber, en principio.
Laplace dijo:
"Podemos considerar el estado presente del universo como un efecto de su pasado
y una causa de su futuro.
Un intelecto que en cierto instante conozca todas las fuerzas que ponen a la naturaleza en movimiento
y todas las posiciones de los items que componen la naturaleza,
si este intelecto fuese lo suficientemente vasto como para someter estos datos a analisis
podría implementar en una sóla fórmula los movimientos de los más grandes cuerpos
del universo , así como los de los más pequeños átomos;
para tal intelecto, nada sería incierto, y el futuro, como el pasado, estaría presente ante sus ojos."
Mientras que Laplace escribió esto a inicios de los 1800
podemos imaginarnos hoy en día que el "intelecto" podría ser una supercomputadora
que fuera capaz de modelar todas las partículas del universo,
por ejemplo, y las fuerzas que actúan en ellas,
y sería capaz de predecir lo que sea.
Esta visión de la posibilidad de completa predicción
fue enormemente aceptada hasta finales del siglo XIX e inicios del siglo XX.
Aunque, antes de eso, Henri Poincaré, un matemático francés
comenzó a especular sobre posibles razones por las que tal perfección en las predicciones no fuera posible.
Fue un pionero de la Teoría de Sistemas Dinámicos moderna,
y la noción del Caos.
Permítanme leer su cita más famosa.
Poincaré dijo:
"Si supiéramos exactamente las leyes de la naturaleza y
la situación del universo en el momento inicial,
podríamos predecir exactamente la situación de ese mismo universo en el momento siguiente."
Ok, eso está de acuerdo con lo que dijo Laplace,
pero luego continúa:
"pero aún si fuera el caso de que las leyes naturales ya no tuvieran ningún secreto para nosotros
aún podríamos saber solamente la situación inicial de manera APROXIMADA.
Si eso nos permitiera predecir la situación siguiente con la misma aproximación,
eso es todo lo que necesitamos y podríamos decir que los fenómenos fueron predichos,
que son gobernados por leyes.
Pero no siempre es así, puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales
produzcan diferencias muy grandes en el fenómeno final.
Un pequeño error en el primero produciría un enorme error en el segundo.
La predicción se vuelve imposible..."
Esta cita introduce la noción de "Dependencia sensible de condiciones iniciales".
Considere la idea de Laplace.
Si en un preciso instante ud conoce la posición y velocidad exactas de todo átomo en el universo
ud podría utilizar las leyes de Newton para predecir exactamente las posiciones y velocidades que tendrán los átomos en algún momento preciso del futuro.
Pero, suponga que no sabe exactamente las posiciones,
suponga que las conoce hasta un número finito de posiciones decimales
lo que dice Poincaré es que en algunos sistemas (no todos), si usted tiene mal algún decimal de posición o velocidad
sus cálculos van a terminar muuuy lejos del resultado real;
y esto podría pasar en el 10mo decimal, o el 100mo, o el milésimo decimal... o tan pequeño como ud quiera
el sistema, si es sensible a condiciones iniciales,
donde las condiciones iniciales serían, por ejemplo, la posición y velocidad de todos los átomos
en algún momento particular.
Si es sensible, en ese sentido, entonces
si ud no conoce los valores EXACTOS, para las condiciones iniciales
la predicción se vuelve imposible.
La noción de Poincaré de dependencia sensible en las condiciones iniciales
se ilustra con el famoso, llamado, "efecto mariposa"
En este ejemplo hipotético, una pequeña mariposa
bate sus alas en Tokio,
esto provoca un diminuto cambio en la posición y velocidad de un poco de moléculas de aire
pero, si todo el sistema climático fuera sensible a condiciones inciales,
y los pronosticadores del tiempo no toman en cuenta a la mariposa
luego de cierto tiempo, sus predicciones serán muy malas;
y la mariposa podría, de hecho, crear un huracán.
Esto no es para decir que este evento ocurra...
o que el clima sea sensible a condiciones iniciales.
Poincaré solo está diciendo que hay ALGUNOS sistemas
que tienen esta propiedad, y no sabemos cuáles son
Estudiaremos uno muy simple más adelante en esta unidad.
Ahora, podemos definir la noción de Caos.
El Caos se utiliza de manera coloquial, todos los días
para decir más o menos 'desorden'
pero en la teoría de sistemas dinámicos
significa algo específico,
es un tipo particular de la dinámica de un sistema.
Es una forma en la que los sistemas cambian,
y se define como "Dependencia sensible de las condiciones iniciales"
Haremos esto un poco más preciso más adelante.
Puede ser que reconozcan a este tipo. Dr. Ian Malcom, que preguntó:
"Nunca han oído de la teoría del caos? Ecuaciones no-lineales? Atractores extraños?"
Si les suena familiar, posiblemente lo vieron...
era un personaje en la película de Jurassic Park, en los 90s.
Puede ser que uds sepan que la secuela de Jurassic Park
escrita también por Michael Crichton y hecha película
se llamaba El Mundo Perdido, y parte de ella
de hecho ocurrió en el Instituto Santa Fe.
En el prólogo tenemos "La vida al borde del caos"
donde Crichton escribe
"El Instituto Santa Fe se encontraba en una serie de edificios en Canyon Rd.
que previamente había sido un convento.
(Eso es cierto...)
y los seminarios del Instituto ocurrían en un cuarto que había servido como capilla.
(también cierto...)
Ahora, parado en el podio, con un rayo de luz brillando sobre él
Ian Malcom pausó dramáticamente antes de continuar su clase...
Vestido completamente de negro, apoyado en un bastón,
Malcom daba una impresión de severidad.
Se le conocía en el Instituto por sus análisis poco convencionales
y su tendencia hacia el pesimismo.
Su charla, ese agosto, titulada "Vida al borde del Caos"
era típica de su forma de pensar,
en ella Malcom presentó su análisis sobre Teoría del Caos aplicada a la Evolución."
...bueno, una vez que este libro salió,
y especialmente luego de la película
mucha gente se dio cuenta que de hecho existe un lugar llamado Insitituto Santa Fe
y resulta que yo estaba ahí a mediados de los 90s...
como una Resident Faculty Member...
y un día, la bibliotecaria del Insitituto Santa Fe
vino a almorzar y se sentó con un grupo de académicos y postdocs del instituto
y mencionó, jocosamente, que alguien le había escrito una carta
solicitando los artículos del prof. Ian Malcom.
Entonces, claramente, los postdocs, al ser postdocs...
decidieron hacer lo obvio... que era hacer un web site de Ian Malcom!
Esta era su página red, en el Insituto Santa Fe, que tenía
algunos de sus artículos, y sus intereses en investigación, etc.
Y hasta que la Junta Directiva del Instituto decidió que esto era poco profesional
fue que quitaron la página de red de Ian Malcom.
El Caos es un área muy importante en el estudio de sistemas dinámicos
y aparece en muchos contextos distintos.
Pueden ver todas estas áreas distintas
en las que se ha visto el caos.
Como actividad cerebral,
crecimiento de poblaciones,
datos financieros, etc.
Nosotros estudiaremos el fenómeno de caos en crecimiento de población
en un modelo muy simple de crecimiento de población
vamos a atacar la pregunta:
Cuál es la diferencia entre caos y aleatoriedad?
que resulta ser una pregunta mucho más sutil de lo que uno pensaría...
y la exploraremos mediante la noción de lo que se llama "Caos determinista"