Hallo zusammen.
In unserer zweiten Kurseinheit geht es um Dynamik und Chaos.
Dynamik ist die Wissenschaft davon, wie sich Dinge verändern.
Wie ich vorher beschrieben habe, ist ein fundamentaler Aspekt
zum Verständnis von komplexen Systemen
die Charakterisierung ihrer Dynamiken. Das heißt, wie sich ihr
komplexes Verhalten entfaltet und wie es
sich in der Zeit verändert. Zuerst werde ich eine kurze
Geschichte der Wissenschaft Dynamik geben.
Dann werden wir uns das Konzept der Iteration
anschauen und wie die Iteration von einfachem
Verhalten zu komplexen Mustern führen kann.
Wir werden etwas Zeit damit verbringen, das
wichtige Konzept von
Nicht-Linearität zu diskutieren und wie nicht-lineare
Interaktionen den Kern von komplexen
Systemen bilden. Wir werden uns dann tiefer mit einem einfachen
Modell von Bevölkerungswachstum beschäftigen, das zu
unerwartetem Verhalten führt. Ich werde
erklären, was "Chaos" bedeutet,
auch bekannt als empfindliche Abhängigkeit von
Anfangsbedingungen.
Dynamik ist die allgemeine Untersuchung, wie
Systeme sich über die Zeit verändern. Ich werde Ihnen ein
paar Beispiele von Themen zeigen, die
unter der Rubrik von Dynamik
untersucht werden. Planetendynamik untersucht die
Bewegung von Planeten unter Einfluss
der Schwerkraft und charakterisiert ihre Umlaufbahnen,
Abweichungen von ihren Umlaufbahnen, Finternisse
und so weiter. Strömungslehre untersucht den Fluss von
Flüssigkeiten und beinhaltet Dinge wie die Untersuchung von
Ozenbewegungen, Hurrikanes, Gaswolken im
Weltall und turbulente Luftströmungen von der Art, wie wir
sie beim Fliegen in einem Flugzeug erleben könnten.
Elektrodynamik untersucht den Fluss
von Elektrizität in Schaltkreisen,
Klimadynamik betrachtet, wie sich Klima
über die Zeit verändert bezüglich Temperatur,
Druck und so weiter. "Crowd Dynamics" untersucht, wie
Menschenmassen handeln. Dies kann entweder
auf geordnete oder ungeordnete Art und Weise
geschehen. Wenn zum Beispiel
jemand "Feuer" in einem vollen Raum ruft, könnte es sein, dass die
Menschen wild wegrennen. Populationsdynamik untersucht, wie
sich Bevölkerungen über die Zeit verändern.
Wir werden darüber in dieser Kurseinheit ziemlich viel reden.
Finanzdynamik betrachtet
Phänomene, die im Bezug zu Aktienpreisen oder
anderen finanziellen Aktivitäten stehen.
Gruppendynamik untersucht, wie sich
Gruppen von Tieren oder Menschen bilden und wie sie
zusammenarbeiten, um Aufgaben zu erledigen. Es
gibt auch Arbeit zu sozialer Dynamik. Dies
umfasst die Dynamik von Konflikten und von
Zusammenarbeit, zum Beispiel zwischen Nationen.
Dynamik ist ein sehr breites Feld.
Es war ein großer Erfolg der Mathematik und der Wissenschaft
quantitative Werkzeuge zu entwickeln,
wie zum Beispiel Differentialgleichungen, die zur
Erklärung so vieler
verschiedener Phänomene verwendet werden können. Und die Theorie
dynamischer Systeme ist das allgemeine Feld der Mathematik, das sich mit
dynamischen Systemen beschäftigt, kurz:
Es ist der Zweig der Mathematik, der
beschreibt, wie sich Systeme über die Zeit verändern und es
umfasst viele Unterzweige
einschließlich Analysis, Differentialgleichungen,
"Iterated Maps" und so weiter. Wir werden über manches davon
in dieser Kurseinheit reden.
Die Dynamik eines Systems bezieht sich auf die
Art, wie sich das System verändert.
Die Theorie dynamischer Systeme gibt uns
Vokabeln und ein Set von mathematischen Werkzeugen, um
Dynamik zu beschreiben. Lassen Sie mich kurz einen
historischen Überblic über die Theorie dynamischer
Systeme und ein paar der großen
historischen Namen geben. Im Westen begann die Untersuchung
dynamischer Systeme mit Aristoteles.
Aristoteles glaubte, dass es
zwei Gruppen von Gesetzen gebe. Eine Gruppe für die Erde,
wo Objekte sich in geraden Linien bewegen,
laut Aristoteles, und nur wegen Kraft.
Dinge fallen auf den Boden mit einer Rate
abhängig davon, wie schwer sie sind.
Er glaubte, dass es eine andere Gruppe
von physikalischen Gesetzen für den Himmel gebe.
Zum Beispiel umkreisen andere Planeten
und die Sonne die Erde in perfekten Kreisen.
Aristoteles gründete seine Ansichten auf Logik und
gesunden Menschenverstand und einige naive Beobachtungen.
Er sah keine Notwendigkeit,
systematisch Experimente durchzuführen. Erst
nach ein paar tausend Jahren begannen Leute,
seine Ansichten zu hinterfragen.
Nikolaus Kopernikus hat zum Beispiel eine
neue Gruppe von Gesetzen für den Himmel vorgeschlagen.
Laut seiner Theorie ist die Sonne feststehend und
die Planeten umkreisen sie. Galileo war ein
Pionier der experimentellen Methode, zumindest was die
Untersuchung von Bewegung
betrifft. Er hat experimentell bewiesen, dass die meisten
Bewegungsgesetze von Aristoteles falsch waren.
Isaac Newton war der Gründer der modernen Wissenschaft
von Dynamik. Newton entdeckte vieles,
was wir heute verwenden, um die Physik der
Bewegung unter Einfluss der Schwerkraft
zu verstehen. Er schlug die damals radikale Ansicht vor,
dass die Bewegungsgesetze dieselben auf
der Erde und im Himmel sind. Das heißt,
Schwerkraft ist eine universelle Kraft, die gleich wirkt,
egal wo im Universum.
Newton, nebst Leibnitz, erfand auch
den Zweig der Mathematik, den wir
Analysis nennen und der seit jeher das vorrangige
Werkzeug ist, um zu untersuchen, wie sich
Systeme über Zeit und Raum ändern.
Pierre-Simon Laplace war ein großer Befürworter des
Newtonschen Reduktionismus und Determinismus.
Ich werde ein sehr berühmtes Zitat von ihm vorlesen, das seine
Ansicht eines deterministischen
Universums, in dem es prinzipiell möglich ist,
alles zu wissen, zusammenfasst. Laplace sagte:
"Wir müssen also den gegenwärtigen
Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustands
und als Ursache des zukünftigen Zustands, ansehen. Eine Intelligenz,
die in einem gegebenen Augenblick alle
Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt
ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde die
sie zusammensetzten, und die überdies umfassend
genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse
zu unterwerfen, würde in der gleichen
Formel die Bewegungen der größten
Himmelskörper und die des
leichtesten Atoms einbegreifen. Für solch eine
Intelligenz wäre nichts ungewiss, Zukunft
und Vergangenheit lägen klar vor ihren
Augen. Während Laplace dies in den frühen 1800ern
schrieb, können wir uns heute vorstellen,
dass diese Intelligenz ein Computer sein könnte, ein
Super-Computer, der in der Lage wäre,
alle Partikel im Universum zu modellieren,
zum Beispiel, und die Kräfte, die auf
sie wirken und der alles
vorhersagen könnte. Diese Ansicht der Möglichkeit
vollständiger Vorhersage war weitgehend akzeptiert bis
ins späte 19. oder frühe 20. Jahrhundert.
Obwohl früher Henri Poincare, ein
Französischer Mathematiker, begann über mögliche
Gründe zu spekulieren, wieso solch
perfekte Vorhersagen nicht möglich sein könnten. Er war
ein Pionier der modernen Theorie über
dynamische Systeme und das Konzept von Chaos.
Lassen Sie mich sein berühmtestes Zitat vortragen.
Poincare sagte: Würden wir die Gesetze der Natur und den Urzustand des Universums
exakt kennen,
könnten wir exakt die Situation
desselben Universums in einem darauffolgenden Moment
vorhersagen. Dies deckt sich
mit dem, was Laplace gesagt hat. Aber dann fährt er fort:
Doch selbst wenn es so
wäre, dass die Naturgesetze kein Geheimnis
mehr für uns wären, könnten wir dennoch die
Anfangssituation nur ungefähr kennen.
Sollte dies uns ermöglichen, die folgende
Situation mit derselben Annäherung
vorherzusagen, dann haben wir, was wir benötigen und wir könnten
sagen, dass das Phänomen
vorhergesagt wurde. Dass es von Gesetzen bestimmt ist.
Aber dies ist nicht immer so. Es könnte
passieren, dass kleine Unterschiede in den
Anfangsbedingungen sehr große
im letztlichen Phänomen hervorrufen. Ein kleiner Fehler in
ersterem wird einen enormen Fehler in letzterem
hervorrufen. Vorhersagen wird
unmöglich. Dieses Zitat stellt das Konzept der
sogenannten empfindlichen Abhängigkeit von
Anfangsbedingungen vor. Betrachten Sie die Idee von Laplace.
Wenn Sie zu einem bestimmten Zeitpunkt
die exakte Position und Geschwindigkeit jedes Atoms im
Universum kennen würden, könnten Sie Newtons Gesetze
benutzen, um exakt vorherzusagen, was die Positionen und
Geschwindigkeiten der Atome zu einem
genauen Zeitpunkt in der Zukunft sein werden.
Nehmen wir jedoch an, dass wir nicht genau die
Positionen kennen. Nehmen wir an, sie sind nur
zu einer endlichen Dezimalstelle bekannt.
Was Poincare sagt, ist dass es manche Systeme gibt,
nicht alle, aber manche, in denen,
falls man irgendeine Dezimalstelle der Position oder
Geschwindigkeit falsch hat, die
Rechnung letztendlich weit daneben liegen wird.
Dies könnte die 10. Dezimalstelle sein,
die hunderdste, tausendste, oder wie weit auch immer
man gehen möchte. Das System, wenn es empfindlich
bezüglich Anfangsbedingungen ist, wobei
Anfangsbedingungen zum Beispiel,
die Positionen und
Geschwindigkeiten jedes Atoms zu einem
gewissen Zeitpunkt ist, wenn es auf diese
Art empfindlich ist, dann wenn man nicht die exakten
Werte der Anfangsbedingungen kennt,
wird Vorhersagen unmöglich. Poincares
Konzept von empfindlicher Abhängigkeit von
Anfangsbedingungen ist illustriert durch den
berühmten sogenannten Schmetterlingseffekt.
In diesem hypothetischen Beispiel flattert ein
kleiner Schmetterling mit seinen Flügeln in Tokyo. Dies verursacht eine
Veränderung in der Position und Geschwindigkeit von ein paar wenigen
Luftmolekülen. Falls das ganze Wettersystem empfindlich bezüglich
der Anfangsbedingungen ist und die
Wettervorhersager den Schmetterling
nicht berücksichtigen, wird ihre Vorhersage nach
einiger Zeit weit daneben liegen, und der Schmetterling
könnte tatsächlich einen Hurrikane erzeugen.
Dies bedeutet nicht, dass dies
tatsächlich passiert, oder dass das Wetter empfindlich
bezüglich Anfangsbedingungen ist, Poincare sagt
nur, dass es Systeme mit dieser Eigenschaft gibt
und wir wissen nicht, welche
dies alle sind. Wir werden uns ein einfaches
ein bisschen später in dieser Kurseinheit anschauen. Jetzt
können wir das Konzept von Chaos definieren. Chaos wird in
Alltagssprache gebraucht, um ungefähr
Unordnung auszudrücken, aber in der Theorie
dynamischer Systeme bedeutet es etwas Spezielles.
Es ist ein spezieller Typ
von Dynamik eines Systems. Es ist eine Art, in der sich
Systeme verändern. Es ist definiert als
empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen.
Wir werden dies später noch
konkretisieren. Vielleicht kennen Sie
diesen Typen,
Dr. Ian Malcolm, der frage: "Sie haben noch nie von
Chaostheorie gehört? Nicht-lineare
Gleichungen? Seltsame Attraktoren?
Falls Ihnen dies bekannt vorkommt, haben Sie ihn
vielleicht gesehen. Er war ein
Charakter in einem Buch, und dann in einem Film,
genannt Jurassic Park, damals in den 90ern.
Vielleicht wissen Sie oder auch nicht, dass die
Fortsetzung von Jurassic Park, auch geschrieben von
Michael Creighton und verfilmt,
den Namen The Lost World trug.
Ein Teil von The Lost World spielte im
Santa Fe Institut. Im Prolog finden wir
"Leben am Rande des Chaos".
Creighton schreibt, dass das Santa Fe
Institute in ein paar Gebäuden
der Canyon Road beherbergt war, das früher
ein Kloster gewesen war. Dies ist tatsächlich
wahr. Die Seminare des Instituts wurden in einem Raum
abgehalten, der als Kapelle diente,
was auch wahr ist. An einem Podest stehend mit
einem Lichtstrahl auf ihn, Ian Malcolm,
hinabscheinend, pausiert er
dramatisch bevor er seinen Vortrag fortführt,
ganz in schwarz gekleidet, sich auf seinen Gehstock
stützend, wirkt Malcom sehr ernst.
Er war im Institut für seine
unkonventionelle Analyse und seinen Hang zum
Pessimismus bekannt. Seine Rede, die
Augustus mit Leben am Rande des Chaos betitelte,
war typisch für sein Denken. Darin
präsentierte Malcom seine Analyse der
Chaostheorie, wie sie auf Evolution zutraf.
Als dieses Buch und der Film
erschienen, bemerkten viele Menschen, dass
es einen Ort namens Santa Fe Institut gab.
Ich war dort in der Mitte
der 90er, als ansässiges Fakultätsmitglied,
und eines Tages kam der Santa Fe
Institut Bibliothekar zum Mittagessen und setzte sich zu
einer Gruppe von Lehrern und Post-Docs des
Instituts und bemerkte heiter, dass
jemand ihr einen Brief geschrieben hatte mit
Bitte um Professor Ian Malcolm's
Forschungspapieren. Da nunmal Post-Docs Post-Docs sind, entschieden sie
sich, das Offensichtliche zu tun, und zwar
eine Webseite für Ian Malcolm zu erstellen.
Hier sehen Sie seine Webseite am Santa
Fe Institut, die manche seiner Forschungspapiere,
seine Forschungsinteressen und so weiter enthielt,
und erst als das Kuratorium des
Santa Fe Instituts entschied, dass
dies unprofessional war, wurde Ian Malcolms
Webseite heruntergenommen. Chaos ist ein sehr
wichtiges Gebiet in der Theorie von dynamischen Systemen
und taucht in vielen verschiedenen
Kontexten auf. Sie können all diese verschiedenen
Gebiete sehen, in denen Chaos entdeckt wurde, wie zum
Beispiel Gehirnaktivität, Populationswachstum,
Finanzdaten, und so weiter.
Wir werden das Phänomen von Chaos in
Populationswachstum in einem sehr
einfachen Modell von Populationswachstum betrachten.
Wir werden die Frage beantworten,
was der Unterschied zwischen Chaos und
Zufälligkeit ist. Dies erweist sich als eine feinsinnigere
Frage als man denken möchte.
Wir werden dies durch das
Konzept von "Deterministischem Chaos" erkunden.