Hola, mi nombre es Anthony Rhodes y éste es el tutorial de "Complexity Explorer" en álgebra vectorial y matricial Esta unidad está dividida en 3 subsecciones en la primera subsección, veremos ... el dominio de los números, teoría de conjuntos y vectores en la segunda sección... exploraremos la noción de matriz que es realmente el corazón de esta unidad. Y alguna de las propiedades algebraicas y aritméticas predominantes de las matrices. Por último, en la tercera subsección... estaremos viendo algunas de las aplicaciones de las matrices. tomando un enfoque hacia las replicaciones en las redes complejas y complejidad. En particular, una de las aplicaciones que veremos, por ejemplo es una forma eficaz de calcular la potencia de una matriz es una técnica conocida como diagonalización. También, veremos algunas propiedades geométricas y aplicación de matrices conocidas como transformaciones lineales y rotaciones. Por último, veremos las aplicaciones relacionadas con matrices y cálculos matriciales con modelos probabilísticos Y esa es una técnica, o tema, conocida como cadenas de Markov. Así que antes de comenzar, quisiera ayudar a motivar el estudio de matrices mencionando algunos ejemplos cortos de dónde podemos usar las matrices para estudiar fenómenos interesantes y matemática aplicada y ciencia Por ejemplo, uno de los problemas clásicos aplicados en la historia de matemáticas y ciencia tiene que ver con el ajuste de curvas. Lo que quiero decir con eso es que Lo que quiero decir con eso es que si quiero realizar un experimento y recolectar información, yo quisiera con el propósito de realizar predicciones e inferencias, contruir un modelo que más se ajuste a la información In un contexto general, esto se conoce como un problema de regresión. Pues resulta que, al obtener esta curva ajustada, puedo incluir una relación entre la información y la curva que quisiera obtener o el modelo que quisiera construir usando matrices. Y esas ecuaciones son muy conocidas y estudiadas y son conocidas como "la ecuación normal" En mecánica cuántica, por ejemplo, vemos comúnmente matrices que... representan operaciones o cálculos cuánticos. representan operaciones o cálculos cuánticos. En física estadística, por ejemplo, una matriz puede incluir relaciones en un campo vectorial Así que si quiero saber como las partículas, en una habitación, interactúan, puedo hacerlo. Mediante multiplicaciones matriciales, de hecho. Y claro, teoría de redes y teoría de grafos está repleta con ejemplos que aplican... ideas relacionadas con matrices. Así que citemos algunos de esos. Por ejemplo, Si estoy en una ciudad "A" y quisiera encontrar la ruta más eficiente a la ciudad "B", (quizás podamos tomarlo como un problema de Google Maps) Puedo buscar en Google maps o un algoritmo similar y obtener un resultado decente con respecto a la ruta... más eficiente de llegar desde la ciudad "A" a la "B" En general, ese algoritmo o su variante, es conocido como el algoritmo de Dijktra Otro ejemplo que se me ocurre es, de hecho, el Internet. Representando una red compleja o gráfica, donde los nodos o vertices en la gráfica son computadoras o servidores connectados mediante algun vínculo. Así que podemos preguntarnos, al estudiar una red compleja como el Internet, si algunos nodos son más importantes o si alguno de los servidores son más importantes que otros. Y podríamos preguntarnos tal cosa porque, bueno, si perdemos algunos de esos servidores, ¿es posible que tengamos una falla catastrófica del internet o alguna red similar? Como no queremos eso, nos gustaría tomar las precauciones adecuadas. Una manera de formalizar esto con la teoría de redes es definiendo algo conocido como la conectividad o incluso la centralidad. Podemos considerar eso como la importancia, en un sentido, de un servidor específico en este caso. Y una forma en que podemos hacer eso, de forma sencilla, es con sólo observar los eigenvalores y eigenvectores y valorar qué tan importante es un nodo específico en una gráfica. Pongamos algunos ejemplos en donde las matrices se conectan o nos permiten representar una amplia gama de fenónemos que podemos estudiar a través de las matemáticas y a través de la ciencia aplicada tan diversa como teoría de redes o mecánica cuántica, estadística, etc.