Hola, mi nombre es Anthony Rhodes
y éste es el tutorial de "Complexity Explorer"
en álgebra vectorial y matricial
Esta unidad está dividida en 3 subsecciones
en la primera subsección, veremos ...
el dominio de los números, teoría de conjuntos y vectores
en la segunda sección...
exploraremos la noción de matriz
que es realmente el corazón de esta unidad.
Y alguna de las propiedades algebraicas
y aritméticas predominantes de las matrices.
Por último, en la tercera subsección...
estaremos viendo algunas de las aplicaciones de las matrices.
tomando un enfoque hacia
las replicaciones en las redes complejas y complejidad.
En particular,
una de las aplicaciones que veremos, por ejemplo
es una forma eficaz de calcular
la potencia de una matriz
es una técnica conocida como diagonalización.
También,
veremos algunas propiedades
geométricas y aplicación de matrices
conocidas como transformaciones lineales y rotaciones.
Por último, veremos las aplicaciones
relacionadas con matrices y cálculos matriciales
con modelos probabilísticos
Y esa es una técnica, o tema, conocida como cadenas de Markov.
Así que antes de comenzar,
quisiera ayudar a motivar el estudio de matrices
mencionando algunos ejemplos cortos
de dónde podemos usar las matrices
para estudiar fenómenos interesantes
y matemática aplicada y ciencia
Por ejemplo, uno de los problemas
clásicos aplicados en la historia
de matemáticas y ciencia
tiene que ver con el ajuste de curvas.
Lo que quiero decir con eso es que
si quiero realizar un experimento
y recolectar información,
yo quisiera
con el propósito de realizar predicciones e inferencias,
contruir un modelo que más se ajuste a la información
In un contexto general, esto se conoce como
un problema de regresión.
Pues resulta que,
al obtener esta curva ajustada,
puedo incluir una relación entre la información
y la curva que quisiera obtener
o el modelo que quisiera construir
usando matrices.
Y esas ecuaciones son muy conocidas y estudiadas
y son conocidas como "la ecuación normal"
En mecánica cuántica, por ejemplo,
vemos comúnmente matrices que...
representan operaciones o cálculos cuánticos.
En física estadística, por ejemplo,
una matriz puede incluir relaciones
en un campo vectorial
Así que si quiero saber como las partículas, en una habitación,
interactúan, puedo hacerlo.
Mediante multiplicaciones matriciales, de hecho.
Y claro, teoría de redes y teoría de grafos
está repleta con ejemplos que aplican...
ideas relacionadas con matrices.
Así que citemos algunos de esos.
Por ejemplo,
Si estoy en una ciudad "A"
y quisiera encontrar la ruta más eficiente a la ciudad "B",
(quizás podamos tomarlo como un problema de Google Maps)
Puedo buscar en Google maps o un algoritmo similar
y obtener un resultado decente con respecto a la ruta...
más eficiente de llegar desde la ciudad "A" a la "B"
En general, ese algoritmo o su variante,
es conocido como el algoritmo de Dijktra
Otro ejemplo que se me ocurre es,
de hecho, el Internet.
Representando una red compleja o gráfica,
donde los nodos o vertices en la gráfica
son computadoras o servidores connectados
mediante algun vínculo.
Así que podemos preguntarnos, al estudiar una red compleja
como el Internet, si algunos nodos son más importantes
o si alguno de los servidores son más importantes que otros.
Y podríamos preguntarnos tal cosa porque,
bueno, si perdemos algunos de esos servidores,
¿es posible que tengamos una falla
catastrófica del internet o alguna red similar?
Como no queremos eso, nos gustaría tomar las precauciones adecuadas.
Una manera de formalizar esto con la teoría de redes
es definiendo algo conocido como la conectividad
o incluso la centralidad. Podemos considerar eso como la importancia, en un sentido,
de un servidor específico en este caso.
Y una forma en que podemos hacer eso, de forma sencilla, es con sólo
observar los eigenvalores y eigenvectores
y valorar qué tan importante es un nodo específico en una gráfica.
Pongamos algunos ejemplos en donde las matrices
se conectan o nos permiten representar
una amplia gama de fenónemos
que podemos estudiar a través de las matemáticas
y a través de la ciencia aplicada
tan diversa como teoría de redes o mecánica cuántica,
estadística, etc.