Hola mi nombre es Anthony Rhodes y este es
el tutorial de "Complexity Explorer" en

vectores y álgebra de matrices

Esta unidad está dividida en 3 
subsecciones; en la primer subsección

estaremos viendo dominio de números, 
teoría de conjuntos y vectores; en la

segunda sección estaremos explorando la
noción de matriz, que es en verdad el

corazón de esta unidad y algunas de las
propiedades algebraicasy aritméticas de

las matrices más importantes; por último
en la última sección, estaremos viendo

algunas aplicaciones de las matrices, con
una mirada sobre replicaciones y redes

complejas; en particular una de las 
aplicaciones que estaremos viendo, por

ejemplo, es una forma de computar en forma
eficiente la potencia de una matriz, que

es una técnica conocida como 
diagonalización; también además de buscar

algunas propiedades geométricas y 
aplicaciones de matrices, conocidas como

transformaciones lineales y rotaciones; 
por último estaremos viendo aplciaciones

que relacionan matrices y computación de
matrices con modelos de probabilidad y

esta es una técnica conocida como cadenas
de Markov

Antes de comenzar quisiera en primer 
lugar motivar acerca del estudio de las

matrices, mencionando brevemente algunos
ejemplos de espacios donde podemos usar

matrices para estudiar fenómenos 
interesantes en matemáticas aplicadas y en

ciencia; por ejemplo uno de los problemas
clásicos de todos los tiempos en la

historia de la matemática y de la ciencia 
tiene que ver con el ajuste de las curvas

lo que quiero decir con eso es que si 
llevo a cabo un experimento y busco datos

me gustaría, con el objetivo de realizar 
predicciones e inferencias, construir el

modelo que mejor se ajuste a esos datos,
en general esto se conoce como el problema

de la regresión

resulta que al aprender esta curva que
mejor se ajusta, puedo codificar la

relación entre los datos y la curva que
quiero construir, del modelo que quiero

construir, usando matrices y estas 
ecuaciones son bien conocidas y ya muy

bien estudiadas y son conocidas como la
ecuación normal; en mecánica cuántica por

ejemplo, vemos a veces matrices que 
representan operaciones o computaciones

cuánticas; en física estadística, por 
ejemplo, una matriz puede codificar

relaciones en un campo vectorial, si 
quiero conocer como las partículas en una

habitación interactúan, puedo hacer eso,
realizando una multiplicación de matrices

y por supuesto la teoría de redes y la 
teoría de grafos esta llena de ejemplos en

los que se aplican ideas relacionadas con
las matrices; así que mencionaremos

algunas de ellas; por ejemplo, si estoy en
una ciudad llamada "A" y quiero encontrar

el camino más óptimo a la ciudad "B",
podemos tomarlo como una cita del Google

Map, un problema que exploraremos más 
tarde; puedo consultar el Google Map o con

un algoritmo similar y obtener un 
resultado correcto en relación al camino

más óptimo entre la Ciudad "A" y "B"; en
general, este algoritmo o alguna de sus

variantes es conocido como el algoritmo de
Dijktra. Otro ejemplo en el que puedo

pensar es, de hecho, Internet, como la
representación de una red o grafo complejo

donde los nodos o vértices en el grafo son
computadoras o servidores que están

conectados mediante algún tipo de vínculo
Entonces podemos preguntarnos cuando

estudiamos las redes complejas como 
Internet, si alguno de los nodos es más

importante o alguno de los servidores son
más importantes que otros

y podemos preguntarnos a qué se debe eso;
si se cae alguno de esos servidores, es

probable que tengamos una falla 
catastrófica de Internet o alguna red del

estilo. No queremos que eso suceda y 
entonces tenemos que tomar ciertas

precauciones. Una manera de formalizar 
esto es en teoría de redes, es definiendo

algo conocido como conectividad o también
centralidad; esto es importante en algún

sentido, medir esto en un servidor en
particular en este caso y podemos hacer

eso en una forma sencilla, simplemente
observando los eigenvalores y los

eigenvectores y evaluar cual es la 
importancia de ese nodo en el grafo

veamos algunos otros ejemplos donde las
matrices se conectan y nos permiten

representar una gama amplia de fenómenos
que pueden ser estudiados mediante

matemáticas y ciencia aplicada de una 
forma tan diversa como la teoría de redes

o la mecánica cuántica, estadísticas, y 
así sucesivamente