Hola mi nombre es Anthony Rhodes y este es el tutorial de "Complexity Explorer" en
vectores y álgebra de matrices
Esta unidad está dividida en 3 subsecciones; en la primer subsección
estaremos viendo dominio de números, teoría de conjuntos y vectores; en la
segunda sección estaremos explorando la noción de matriz, que es en verdad el
corazón de esta unidad y algunas de las propiedades algebraicasy aritméticas de
las matrices más importantes; por último en la última sección, estaremos viendo
algunas aplicaciones de las matrices, con una mirada sobre replicaciones y redes
complejas; en particular una de las aplicaciones que estaremos viendo, por
ejemplo, es una forma de computar en forma eficiente la potencia de una matriz, que
es una técnica conocida como diagonalización; también además de buscar
algunas propiedades geométricas y aplicaciones de matrices, conocidas como
transformaciones lineales y rotaciones; por último estaremos viendo aplciaciones
que relacionan matrices y computación de matrices con modelos de probabilidad y
esta es una técnica conocida como cadenas de Markov
Antes de comenzar quisiera en primer lugar motivar acerca del estudio de las
matrices, mencionando brevemente algunos ejemplos de espacios donde podemos usar
matrices para estudiar fenómenos interesantes en matemáticas aplicadas y en
ciencia; por ejemplo uno de los problemas clásicos de todos los tiempos en la
historia de la matemática y de la ciencia tiene que ver con el ajuste de las curvas
lo que quiero decir con eso es que si llevo a cabo un experimento y busco datos
me gustaría, con el objetivo de realizar predicciones e inferencias, construir el
modelo que mejor se ajuste a esos datos, en general esto se conoce como el problema
de la regresión
resulta que al aprender esta curva que mejor se ajusta, puedo codificar la
relación entre los datos y la curva que quiero construir, del modelo que quiero
construir, usando matrices y estas ecuaciones son bien conocidas y ya muy
bien estudiadas y son conocidas como la ecuación normal; en mecánica cuántica por
ejemplo, vemos a veces matrices que representan operaciones o computaciones
cuánticas; en física estadística, por ejemplo, una matriz puede codificar
relaciones en un campo vectorial, si quiero conocer como las partículas en una
habitación interactúan, puedo hacer eso, realizando una multiplicación de matrices
y por supuesto la teoría de redes y la teoría de grafos esta llena de ejemplos en
los que se aplican ideas relacionadas con las matrices; así que mencionaremos
algunas de ellas; por ejemplo, si estoy en una ciudad llamada "A" y quiero encontrar
el camino más óptimo a la ciudad "B", podemos tomarlo como una cita del Google
Map, un problema que exploraremos más tarde; puedo consultar el Google Map o con
un algoritmo similar y obtener un resultado correcto en relación al camino
más óptimo entre la Ciudad "A" y "B"; en general, este algoritmo o alguna de sus
variantes es conocido como el algoritmo de Dijktra. Otro ejemplo en el que puedo
pensar es, de hecho, Internet, como la representación de una red o grafo complejo
donde los nodos o vértices en el grafo son computadoras o servidores que están
conectados mediante algún tipo de vínculo Entonces podemos preguntarnos cuando
estudiamos las redes complejas como Internet, si alguno de los nodos es más
importante o alguno de los servidores son más importantes que otros
y podemos preguntarnos a qué se debe eso; si se cae alguno de esos servidores, es
probable que tengamos una falla catastrófica de Internet o alguna red del
estilo. No queremos que eso suceda y entonces tenemos que tomar ciertas
precauciones. Una manera de formalizar esto es en teoría de redes, es definiendo
algo conocido como conectividad o también centralidad; esto es importante en algún
sentido, medir esto en un servidor en particular en este caso y podemos hacer
eso en una forma sencilla, simplemente observando los eigenvalores y los
eigenvectores y evaluar cual es la importancia de ese nodo en el grafo
veamos algunos otros ejemplos donde las matrices se conectan y nos permiten
representar una gama amplia de fenómenos que pueden ser estudiados mediante
matemáticas y ciencia aplicada de una forma tan diversa como la teoría de redes
o la mecánica cuántica, estadísticas, y así sucesivamente