O objetivo de tudo isto é para que possamos achar a soluçao do vetor 'x', aquele vetor 'x' do estado estacionário. Se conseguirmos resolvê-lo, poderemos compreender o comportamento de longo prazo da cadeia de Markov. Se pararmos para pensar, é a solução de maior valor pois poderemos maximisar o poder profético do meu modelo da cadeia de Markov ao achar o vetor 'x' do estado estacionário. Então o que gostaríamos de fazer agora é definir as condições da matriz 'P' que basicamente garantirão uma gentileza matemática que nos permitirá achar o vetor 'x' do estado estacionário. Então aqui estão as condições matemáticas que garantem um vetor de estado estacionário e irão nos guiar para achar aquele vetor quando resolvermos o problema. Temos aqui um teorema e uma definição. A definição, como uma preliminar do teorema, diz que uma matriz 'n' por 'n' é chamada de regular se, no final, aquela matriz, ou os seus exponenciais, contiverem apenas entradas positivas. Entao eu poderei iterar os exponenciais da matriz que, em algum momento, obterei apenas entradas positivas. Denomina-se esta matriz regular. Quando é regular, esta nos dará um estado estacionário único como veremos num segundo. Para compreender intuitivamente porque nos importamos com essa condição de regularidade, bem, se é regular, isto é, somente obtemos entradas positivas, eventualmente, se exponenciarmos a matriz. Isso basicamente significa que, quero dizer, o que significaria se uma matriz nao fosse regular? Existiriam valores negativos ou zeros. Neste caso, se não fosse regular, os exponenciais da matriz oscilariam num vai e volta: algumas entradas seriam menores, outras maiores, nunca se estabili- zariam. Por isso, em poucas palavras, é que precisamos dessa condicao de regularidade. Suigamos adiante, para o teorema grande relacionado aos vetores em estado estacio- nário. OK, temos uma matriz estocástica e é regular, isto é, existe um exponencial, no final, que apenas nos retornará entradas positivas. Então existem duas consequências daquela regularidade da matriz estocástica Número 1 é que 'P' tem um único vetor em estado estacionário, o qual denominaremos de 'x', isto é, existe um vetor que permanece fixo em equilíbrio, isto é, quando multiplico na esquerda pela matriz estocástica 'P'. Então esta é uma condicão legal que nos permite ficar despreocupados quanto à achar múltiplos vetores de estado estacionário e outras complicações. E a segunda condição garantida pelo nosso teorema é que , mais uma vez, se tivermos uma matriz estocástica regular, a cadeia de Markov associada, que posso escrever como uma sequência de vetores definida pelo nosso processo converge para 'x', converge para o vetor de estado esta- -cionário. De maneira importante, converge independentemente do estado inicial do vetor. Isto é, se eu tiver uma matriz estocástica regular, posso começar algures e a minha sequência eventualmente convergirá para 'x', o vetor de estado estacionário. Agora, se você não é familiar com o termo 'convergência' em Matemática, isso apenas significa que, se eu iterar a sequência um número suficiente de vezes ou se eu permitir o tempo decorrer suficientemente, os meus vetores de estado se aproximarão do vetor de estado estacio- -nário: convergimos para aquele vetor. Para resumir, uma matriz regular é uma matriz quadrada tal que, quando eu a exponencio, eventualmente eu obtenho apenas entradas positivas, isto é, não obtemos comportamentos oscilatórios. O teorema então garante duas coisas uma vez que 'regularidade' é satis- -feita: se a matriz é regular, então temos um único vetor de estado estacionário. Também, nao importa por onde começamos na cadeia de Markov, aquela cadeia convergirá para o vetor de estado estacionário 'x'. A seguinte pergunta permanece, 'Como achar o vetor de estado estacionário 'x' dada uma matriz estocástica 'p'? Vamos explorar isso agora. Bem, por definição, o nosso vetor 'x', se for um vetor de estado estacionário, permanece fixo quando eu o multiplico pela matriz 'P' à esquerda. Então obtemos Px = x. Agora utilizando-se de propriedades básicas de álgebra matricial, basicamente, apenas resolverei esta equação para o vetor 'x', então começarei por subtrair ambos os lados por 'x' e obteremos 'Px - x' e um vetor menos outro vetor é zero então é zero no lado direito, OK? 'x' menos 'x' é igual ao vetor nulo. O último passo é, eu quero isolar o vetor 'x'. Para fazer isso, eu fatoro o 'x'. Agora, cuidado, quando eu fatoro o vetor 'x' no primeiro termo, obtenho o 'P' que sobrou e um menos e aí preciso de um espaço reservado para uma matriz aqui que será uma matriz de identidade. Então aí está a equação que eu gostaria de resolver. É simples resolver este sistema mas raramente fazemos à mão. Para resolvê-lo usaríamos uma calculadora ou um programa de computador. Este processo é chamado de Forma Reduzida ou Forma Escalonada Reduzida...