O objetivo de tudo isto é para que
possamos achar a soluçao do vetor 'x', aquele
vetor 'x' do estado estacionário. Se
conseguirmos resolvê-lo, poderemos
compreender o comportamento de longo prazo
da cadeia de Markov. Se pararmos para pensar,
é a solução de maior valor pois poderemos
maximisar o poder profético do meu modelo
da cadeia de Markov ao achar o vetor 'x'
do estado estacionário. Então o que
gostaríamos de fazer agora é definir as
condições da matriz 'P' que basicamente
garantirão uma gentileza matemática que
nos permitirá achar o vetor 'x' do estado
estacionário. Então aqui estão as
condições matemáticas que garantem um vetor
de estado estacionário e irão nos guiar para
achar aquele vetor quando resolvermos o
problema. Temos aqui um teorema e uma
definição. A definição, como uma preliminar
do teorema, diz que uma matriz 'n' por 'n'
é chamada de regular se, no final, aquela
matriz, ou os seus exponenciais, contiverem
apenas entradas positivas. Entao eu poderei
iterar os exponenciais da matriz que, em
algum momento, obterei apenas entradas
positivas. Denomina-se esta matriz regular.
Quando é regular, esta nos dará um estado
estacionário único como veremos num segundo.
Para compreender intuitivamente porque
nos importamos com essa condição de
regularidade, bem, se é regular, isto é,
somente obtemos entradas positivas,
eventualmente, se exponenciarmos a matriz.
Isso basicamente significa que, quero dizer,
o que significaria se uma matriz nao fosse
regular? Existiriam valores negativos ou
zeros. Neste caso, se não fosse regular,
os exponenciais da matriz oscilariam num
vai e volta: algumas entradas seriam
menores, outras maiores, nunca se estabili-
zariam. Por isso, em poucas palavras, é que
precisamos dessa condicao de regularidade.
Suigamos adiante, para o teorema grande
relacionado aos vetores em estado estacio-
nário. OK, temos uma matriz estocástica
e é regular, isto é, existe um exponencial,
no final, que apenas nos retornará entradas
positivas. Então existem duas consequências
daquela regularidade da matriz estocástica
Número 1 é que 'P' tem um único vetor em
estado estacionário, o qual denominaremos
de 'x', isto é, existe um vetor que permanece
fixo em equilíbrio, isto é, quando multiplico
na esquerda pela matriz estocástica 'P'.
Então esta é uma condicão legal que nos
permite ficar despreocupados quanto à achar
múltiplos vetores de estado estacionário
e outras complicações. E a segunda condição
garantida pelo nosso teorema é que , mais
uma vez, se tivermos uma matriz estocástica
regular, a cadeia de Markov associada, que
posso escrever como uma sequência de vetores
definida pelo nosso processo converge para
'x', converge para o vetor de estado esta-
-cionário. De maneira importante, converge
independentemente do estado inicial do vetor.
Isto é, se eu tiver uma matriz estocástica
regular, posso começar algures e a minha
sequência eventualmente convergirá para 'x',
o vetor de estado estacionário. Agora, se
você não é familiar com o termo 'convergência'
em Matemática, isso apenas significa que,
se eu iterar a sequência um número suficiente
de vezes ou se eu permitir o tempo decorrer
suficientemente, os meus vetores de estado
se aproximarão do vetor de estado estacio-
-nário: convergimos para aquele vetor. Para
resumir, uma matriz regular é uma matriz
quadrada tal que, quando eu a exponencio,
eventualmente eu obtenho apenas entradas
positivas, isto é, não obtemos comportamentos
oscilatórios. O teorema então garante duas
coisas uma vez que 'regularidade' é satis-
-feita: se a matriz é regular, então temos
um único vetor de estado estacionário.
Também, nao importa por onde começamos na
cadeia de Markov, aquela cadeia convergirá
para o vetor de estado estacionário 'x'.
A seguinte pergunta permanece, 'Como achar
o vetor de estado estacionário 'x' dada uma
matriz estocástica 'p'? Vamos explorar isso
agora. Bem, por definição, o nosso vetor 'x',
se for um vetor de estado estacionário,
permanece fixo quando eu o multiplico pela
matriz 'P' à esquerda. Então obtemos Px = x.
Agora utilizando-se de propriedades básicas
de álgebra matricial, basicamente, apenas
resolverei esta equação para o vetor 'x',
então começarei por subtrair ambos os lados
por 'x' e obteremos 'Px - x' e um vetor
menos outro vetor é zero então é zero no lado
direito, OK? 'x' menos 'x' é igual ao vetor
nulo. O último passo é, eu quero isolar o
vetor 'x'. Para fazer isso, eu fatoro o 'x'.
Agora, cuidado, quando eu fatoro o vetor
'x' no primeiro termo, obtenho o 'P' que
sobrou e um menos e aí preciso de um espaço
reservado para uma matriz aqui que
será uma matriz de identidade. Então aí
está a equação que eu gostaria de resolver.
É simples resolver este sistema mas raramente
fazemos à mão. Para resolvê-lo usaríamos
uma calculadora ou um programa de computador.
Este processo é chamado de Forma Reduzida
ou Forma Escalonada Reduzida...