el punto central de todo esto es que en verdad queremos encontrar si podemos o
resolver para ese vector X, el vector de estado estable X; si podemos hacer eso
entonces básicamente ya resolvimos el problema acerca de cuál es la conducta a
largo plazo de la Cadena de Markov
si lo pensamos, podemos sacar el máximo provecho, debido a que puedo maximizar el
valor predictivo de mi modelos de Cadena de Markov encontrando el vector de estado
estable X; lo que queremos hacer ahora es definir algunas condiciones para la matriz
P que básicamente nos garantizan un tipo de habilidad matemática que nos permitirá
encontrar el vector de estado estable X
acá tenemos nuestras condiciones matemáticas que nos garantizan que vamos a
encontrar el vector de estado estable X y nos allanarán el camino para encontrar ese
vector cuando resolvamos el problema; el teorema que tenemos acá nos dice
básicamente esta definición preliminar que una matriz de n x n se llama regular si en
forma eventual esa matriz o potencias de esas matrices contiene sólo entradas
positivas; eventualmente puedo iterar las potencias de esa matriz y en algún punto
sólo obtengo entradas positivas y así puedo llamar a la matriz regular; ahora
cuando es regular, entonces nos va a dar un único vector de estado estable que ya
veremos en un segundo; sólo para tener una intuición acerca de por qué deberíamos
preocuparnos por esta condición regular, qué es regular? en otras palabras sólo
tenemos entradas positivas eventualmente cuando elevamos la matriz a la potencia,
eso significa básciamente, qué quiere decir que es regular? que haya valores
negativos o ceros, en este caso si fuera regular, ok, entonces las potencias de la
matriz irían y vendrían, algunas entradas serían pequeñas, otras entradas serían
grandes, nunca se establecería, eso, en resumen es la razón por la cual
necesitamos esta condición regular; vamos a ver el gran teorema y como se relaciona
con los vectores de estado estable, ok tenemos una matriz estocástica y es
regular, en otras palabras, hay alguna potencia que eventualmente que nos da sólo
entradas positivas, entonces puede haber sólo 2 consecuencias de esa regularidad en
esa matriz estocástica; la 1ra es que P tiene un vector de estado estable único,
lo denotamos como X, en otras palabras, hay algunos vectores que permanecen fijos
en equilibrio, en otras palabras cuando multiplico a la izquierda por la matriz
estocástica P; esta es una condición muy buena de hecho porque nos permite no tener
que preocuparnos por encontrar los múltiplos del vector de estado estable y
esas complicaciones; la 2da condición nos garantiza mediante un teorema, una vez más
tenemos una matriz regular estocástica que se asocia con la Cadena de Markov, puedo
escribir la secuencia de vectores definidos por nuestro proceso acá que
converge a X, converge al vector de estado estable, es importante que la convergencia
es independiente de cuales son los vectores de estado estable iniciales
en otras palabras, si tengo una matriz estocástica regular, puedo comenzar en
cualquier lugar y mi secuencia va a
converger eventualmente en X, el vector de estado estable; si no están familiarizados
con el concepto de convergencia en matemáticas, esto quiere decir que si
itero esta secuencia lo suficiente o si permito que durante el tiempo suficiente
suceda, entonces vectores de estado que son arbitrariamente cercanos al vector de
estado estable, converge en aquel vector, en resumen, una matriz regular es una
matriz de n x n, que cuando la elevo a la potencia eventualmente sólo obtengo
valores positivos, no hay otro tipo de conducta en otras palabras, el teorema
garantiza 2 cosas, que tenemos regularidad si la matriz es regular entonces tenemos
un único vector de estado estable, ya hablamos de cómo podemos hallarlo, ahora
también no importa dónde comencemos en la Cadena de Markov, esa cadena converge en
el vector de estado estable X
la pregunta permanece, cómo podemos encontrar este vector de estado estable X,
dada la matriz estocástica P; vamos a explorar eso ahora, por definición,
nuestro vector X, si es un vector de estado estable permanece fijo cuando lo
multiplico por la matriz P a la izquierda P es igual a X; ahora usando propiedades
del álgebra de matrices básicamente, voy a resolver esta ecuación para el vector X,
comienzo restando X de ambos lados y luego tenemos P X - X, el vector - el vector es
0, queda un vector 0 en el lado derecho; acá está mi vector 0
ahora el último paso es aislar el vector X para hacer eso voy a usar factoreo ahí
afuera, con cuidado cuando factorizo el vector X en 1er término, dejo a P por
supuesto adentro - cuando dejo este espacio para la matriz aquí, y ese espacio
va a ser la matriz Identidad, esta es la ecuación que voy a tener que resolver,
resolver este sistema es muy simple de hacer; pueden practicar y hacerlo a mano,
en cualquier caso, para resolver este sistema vamos a usar
una calculadora o algún paquete de software; este proceso dicho sea de paso,
se llamar reducción de renglón o reducción escalonada como se la conoce a veces