Veamos ahora 2 ejemplos típicos de aplicación de las Cadenas de Markov, voy a dibujar acá es algo que se llama un grafo directo y en un grafo directo tenemos nodos, en este caso hay 3 nodos, hay 3 valores posibles, y los hemos descrito acá con este grafo, las probabilidades de la transición entre los diferentes valores para cada uno de ellos; pueden notar que en un grafo directo hay flechas que apuntan de un estado o un valor a otro, por ejemplo tenemos el valor de nuestra economía, una suerte de crecimiento normal una recesión moderada o una recesión severa; entre cada uno de estos valores, tenemos una flecha que, otra vez, es directa que apunta hacia otro valor y junto a esas 2 flechas hay un peso o una medida de probabilidad; entonces por ejemplo si quiero determinar, basado en este análisis, la probabilidad de que una economía que se encuentra en un estado de crecimiento normal, se mantendrá en ese crecimiento normal, esa probabilidad es muy alta, cerca de 97.1% y por el otro lado la probabilidad de que tengamos una transición desde un crecimiento normal en un año dado hacia una recesión moderada es .029 y así sucesivamente; veamos que hay flechas entre cada uno de los nodos que en este caso tienen una probabilidad de 0, debido a que la recesión moderada representa algo así como un valor intermedio, no hay una flecha directa entre el crecimiento normal y la recesión severa, esa probabilidad es de 0, antes tenemos que pasar por una recesión moderada antes de que alcancemos una recesión severa; dicho sea de paso, estos números están basado en estadísticas recientes de la economía de los EEUU; ellas valen la pena de ser vistas en este escenario, en otras palabras basados en estos grafos directos, lo que queremos hacer es definir mi matriz estocástica P para esta Cadena de Markov y dado algún valor de estado inicial de nuestra economía podemos entonces hacer una predicción, podemos, en otras palabras, pronosticar acerca del futuro económico entonces tenemos acá la matriz estocástica asociada, a la que llamamos P, una vez más refleja la probabilidad de transición como se muestra en el grafo directo que está arriba; para los valores en la columna 1 podemos pensarlos e interpretarlos como las probabilidades de la transición para nuestra economía si es que estamos en un estado de crecimiento natural, la probabilidad en otras palabras cuando estamos en un crecimiento natural, miramos al grafo directo, para mantener ese crecimiento natural se necesita .971 y acá vemos ese valor; por el otro lado la probabilidad de transición del crecimiento natural a una recesión moderada, el crecimiento natural en esta columna, la recesión moderada en el 2do renglón, esa probabilidad es .029, vamos a movernos por el grafo y digamos que para una recesión severa, la probabilidad de transición para mantener esa recesión severa, esa probabilidad es .492 que se corresponde con el valor de abajo a la derecha, si estamos en este estado, cuál es la probabilidad de estar en una transición, en otras palabras si estamos en una recesión severa tenemos .492, como ya lo mencioné anteriormente, hay un par de probabilidades 0 para ir de un extremo al otro, por ejemplo si estamos en una recesión severa la probabilidad de ir a un estado de crecimiento normal es 0, no hay ninguna flecha desde ese nodo de recesión severa a un crecimiento normal ahora que tenemos nuestra matriz estocástica para este modelo económico en particular, vamos adelante y usémoslo en el contexto de las Cadenas de Markov para poder hacer algunas predicciones ok, vamos adelante y calculemos la Cadena de Markov para este ejemplo de pronóstico económico, otra vez, recordemos que acá está nuestra matriz estocástica P, que representa las disitintas probabilidades de transición; en el 1er cálculo voy a ser bastante optimista en términos de desde donde comenzamos, entonces nuestro nodo X nuestro vector de estado inicial, 1 0 0, donde 1 se corresponde con el 100%, están todos ahí, para un crecimiento normal y 0 0 para la recesión moderada y la severa, veamos si comenzamos con el mejor escenario, qué es lo que puede predecir esta Cadena de Markov para los valores económicos en el futuro? recuerden que por la condición de Markov tal como la llamamos, cada uno de los estados subsecuentes en nuestra cadena, depende únicamente del estado previo y la forma en que se hace la transición de un estado al siguiente es mutliplicando por esta matriz probabilística de transición, la matriz P; vamos adelante y hagamos algunos cálculos y encontremos la predicción para nuestro vector de probabilidad para el año 1 ok, vamos a multiplicar nuestro vector de estado inicial 1 0 0 por la matriz estocástica P a la izquierda y eso nos da como resultado un vector de estado para el año siguiente; llamémoslo año 1, tomen nota que estos cálculos son bastante triviales, escencialmente estamos haciendo un producto escalar cuando multiplico las matrices en forma conjunta y escalando cada renglón con 1 0 0; entonces lo que hago es tomar la 1ra columna de mi matriz estocástica; cómo podemos interpretar este vector de estado? bueno, después del 1er año el pronóstico es el siguiente: hay 97% de probabilidades de estar, otra vez, en un crecimiento normal y 0.91% de chances de estar en una recesión moderada y 0% de chances de estar en una recesión severa eso está bueno, pero me gustaría, en este punto, ver las cosas de forma más profunda en otras palabras, me gustaría hacer una proyección sobre los valores posibles del futuro, digamos 10, 1 año por vez, usando este modelo particular la forma en que puedo hacerlo es, por supuesto, es con la Cadena de Markov es iterando el proceso de la multiplicación de matrices para obtener, digamos, el vector de estado 2, luego del año 2, otra vez quiero multiplicar por P, pero pueden notar que con cada cálculo que sigue, para obtener el siguiente vector de estado en mi cadena de secuencias debo simplemente multiplicar por P; un buen atajo es este; si quiero saber, por ejemplo, el vector de estado k, que es mi panorama económico en este caso, luego de k años, todo lo que tengo que hacer es elevar al exponente, en otras palabras elevar a la potencia mi matriz estocástica a la k en particular, y multiplico eso por el vector de estado inicial y así obtendo mi predicción para el pronóstico del año k y otra vez se ve bien linda esta aplicación de tomar las potencias de una matriz ahora podemos en forma eficiente hacer predicciones para valores del futuro usando este modelo matemático en particular; por ejemplo cuál es el estado que puedo predecir de acá a 10 años? cuál es el futuro económico, cómo se verá? bueno tomando mi matriz estocástica y simplemente elevándola a la potencia 10 luego multiplico por el vector de estado inicial 1 0 0, otra vez y este es el valor de la predicción, en este punto tengo 86% de chances de cambiar a un crecimiento normal y noten que da un poco de miedo ver acá arriba la probabilidad creciente de una recesión respectivamente y otra vez si quisiera seguir prediciendo lo que va a ocurrir, digamos 20 años, puedo elevar mi matriz estocástica a la potencia 20, multiplicando de nuevo por el vector de estado inicial y así obtener las siguientes probabilidades si sienten curiosidad se pueden llegar a preguntar qué sucede si empezamos con un vector de estado inicial diferente? un nodo X diferente, en otras palabras esto fue pronóstico muy optimista de hecho, podríamos ser un poco más cínicos y ver qué sucede con el modelo, bueno con seguridad, por ejemplo, si asumo y puede que sea mi primer supuesto honestamente, el filo, puedo asumir que tal vez tenga una probabilidad uniforme en el vector, en otras palabras, todos los valores son iguales en probabilidad que mi vector de estado inicial, entonces no es un tiempo tan bueno en términos económicos, 1/3 1/3 1/3 para estos componente, lo que sucede entonces cuando uso la Cadena de Markov y pronostico 20 años en el futuro en otras palabras elevo mi matriz estocástica otra vez a la potencia 20 y la multiplico por este vector de estado inicial diferente y obtengo el valor consiguiente, que no es drásticamente diferente, pero como lo pueden ver, es un poco peor de hecho ok vamos a resumir nuestros resultados entre estos 2 casos; en un caso tenemos este vector de estado inicial, que representa nuestra pronóstico económico optimista y usamos la Cadena de Markov para hacer una predicción de 20 años en el futuro, qué es lo que puede suceder entonces, por el otro lado en el 2do caso comenzamos con un vector de estado inicial que es muy diferente, un vector de probabilidad uniforme, otra vez, usando la Cadena de Markov para hacer una predicción con este pronóstico, otra vez, 20 años en el futuro, otra vez dado que nuestros vectores iniciales son muy diferentes, el vector de estado final, que es predicho por el modelo en ambos casos, no son del todo diferentes, una buena pregunta para hacer es si mi Cadena de Markov depende fuertemente de mi vector de estado incial hasta que punto modificando ese vector, me cambia el valor en el largo plazo en una Cadena de Markov? podemos responder esa pregunta en forma momentánea y muy relacionado en el aspecto conceptual está este otro planteo, que es muy importante para las Cadenas de Markov, es el siguiente: si proyecto en el futuro lejano en mi secuencia de vectores de estado, definidos por esta Cadena de Markov, esa secuencia, se establecerá alguna vez?, en otras palabras, para ponerlo en términos matemáticos, será que mis vectores convergen en un valor en particular? si lo hacen, dicho sea de paso, ese vector se denomina vector de estado estable de la Cadena de Markov y significa que mi proceso dinámico tiene una convergencia en un valor en particular, en otras palabras puede establecerse