hola esta es la sección 3-C, en esta sección me gustaría explicar en forma breve los nexos entre las matrices y las derivadas en cálculo, podemos llamarlas como el operador diferencial; hemos visto en la sección previa que puedo usar las matrices para representar muchos procesos y fenómenos diversos y diferentes veamos como las matrices pueden en verdad representar diferenciaciones, tal como las conocemos en cálculo; por ejemplo veamos una función polinomial; quiero tomar la derivada con respecto a X; digamos la función X^2 + X, vamos a usar algunos elementos del cálculo acá, el paralelogismo y la linealidad de la derivada y esencialmente llegamos a tener 2x + 1 y así sucesivamente; quiero mostrarles entonces como una acción, una transformación real propiamente, cómo ésta puede ser, otra vez, encapsulada por una matriz si recordamos cuando vimos las transformaciones geométricas con respecto a la mutliplicación de matrices; el objetivo era encontrar esa matriz especial que se llama la matriz estándar de las transformaciones, créanlo o no, la derivada es en sí misma una transformación lineal, tiene propiedades lineales que acabo de mencionar para encontrar esa matriz lo que necesitamos hacer, digamos con respecto a los polinomios es mirar a las derivadas de un conjunto estándar, que se denomina el conjunto de base estándar, otra vez de las funciones de los polinomios; entonces por ejemplo, cómo puedo considerar a la derivada de una constante? llamémoslo así cual es la derivada, si sabemos cálculo, de la constante? es 0 la derivada de x con respecto a x es por supuesto es 1 la derivada, por el otro lado, de un cuadrado con respecto a x es 2x y la derivada de un cubo con respecto a x es 3x al cuadrado, estoy usando algo que se llama la regla de la potencia en cálculo diferencial ahora quiero traducir estos resultados al mundo de los vectores y las matrices, si recuerdan de algunas secciones atrás hemos hablado de como codificar información, el contenido de información de los objetos matemáticos como los polinomios, en este caso, en la forma de un vector; si recuerdan podemos considerar en el espacio vectorial como lo definimos anteriormente P3 este es el conjunto de todas las funciones polinomiales con grado menor o igual que 3; lo que quiero hacer es armar esta matriz, que será conocida como la matriz estándar para el operador diferencial, primero hay que convertir cada una de estas funciones de base en el equivalente de la representación vectorial por ejemplo, puedo escribir esta constante en términos de la función cúbica, tengo 0 que es el lugar donde pondré el término cúbico, 0 y el lugar donde pondré el término cuadrático y en forma similar el lugar para el coeficiente del término lineal y la constante C; puedo escribir esto, la función constante en el mundo o el espacio vectorial, si prefieren, de P3 en una forma codificada, en otras palabras voy a poner los números, llamo a la constante C, entonces C y luego los coeficientes ordenados en el mismo orden tal como la forma codificada, esto va a ser un elemento de P3, pero ahora escrito en forma expuesta como un vector de 4 dimensiones, por decir como un elemento de R4; ahora me gustaría hacer la misma codificación para cada uno de estas funciones y desde allí armar, otra vez, la matriz estándar para la transformación que representa la diferenciación vamos adelante y trabajemos con la forma codificada, la forma vectorial de las derivadas de las que llamamos las funciones de base para el espacio vectorial P3 otra vez, el conjunto de todas las funciones de todos los polinomios de grado 3 o menos y por ejemplo y para darle sentido a todo esto recordarán que cuando tomábamos la derivada del cálculo de una función cúbica la derivada en forma inherente hace lineal la función, en otras palabras baja un grado al polinomio, si tomo la derivada de una función cúbica o de menor grado, va a mapear en una función cuadrática o en un polinomio de menor grado acá tengo a la izquierda las derivadas de cada una de estas funciones de base, si tomo la derivada de una función constante obtengo todos ceros con respecto a x, cuando lo hago es, otra vez, voy a tomar la derivada de un vector de 4 dimensiones, codificado como un polinomio y vamos a mapearlo en un vector de 3 dimensiones, pierdo 1 dimensión a través de este proceso de diferenciación si seguimos bajando en la lista y la derivada acá está codificada, digamos la función x cuya derivada es 1, 1 es ese coeficiente es puesto en este espacio para las constantes, que es este de arriba, tengo el coeficiente constante que estuvimos codificando, el coeficiente lineal y el coeficiente cuadrático, cuando calculo la derivada de la cúbica o de grado menor y la mapeo sobre una función cuadrática, en forma similar si tomo la derivada de la función X al cuadrado, bueno X al cuadrado, la derivada de X al cuadrado es 2X, por lo tanto pongo el coeficiente 2 en el espacio lineal, en forma similar cuando tomo la derivada de X al cubo, la derivada de X al cubo es, por supuesto 3X al cuadrado, coloco el coeficiente 3 en el espacio de la X al cuadrado ahora mencionamos un teorema del álgebra lineal en la sección 3B, si quiero matrices estándar para representar, en este caso el operador diferencial, voy a buscar las acciones de los vectores base y esas imágenes las coloco como vectores en ese orden en particular, como vectores de columnas en forma específica para formar mi matriz estándar de esa transformación acá está mi matriz diferencial, así la llamo quiero mostrarles ahora como una analogía de la sección previa, puedo realizar la acción o la operación de la diferenciación en un polinomio, digamos cúbico o de grado menor (la función) vía una multiplicación de matrices, en forma específica por la matriz de diferenciación como la escribimos a la izquierda veamos esta acción de la diferenciación a través de la multiplicación de matrices en forma más directa con un ejemplo, entonces acá tenemos nuestra matriz diferencial, el operador, la matriz estándar de la diferenciación, otra vez esta es una matriz, noten que no es cuadrada, eso representa el hecho de que, otra vez, lo que vamos a hacer es reducir nuestro mapeo o la multiplicación por dimensiones, voy a comenzar con el vector de 4 dimensiones y a través de la reducción por la multiplicación va a bajar a un vector de 3 dimensiones, debido a que en forma inherente tomar la derivada permite hacerla lineal, perdemos un grado del polinomio en el proceso consideremos la función, digamos la función cúbica otra vez, hice una acá, 7x al cubo - x al cuadrado + 10, puedo codificar esa función en la forma vectorial, donde en particular escribo los coeficientes en orden de potencias crecientes, arranco con mi coeficiente constante, el coeficiente lineal que es 0 tengo que ponerlo en ese lugar, el coeficiente cuadrático, 1 negativo y 7 para el coeficiente cúbico simplemente usando las reglas de la diferenciación del cálculo, tomo la derivada de 7x al cubo - x al cuadrado + 10 otra vez, es un operador lineal, tomo la derivada de cada término en forma separada y aplico la regla de la potencia del cálculo, la derivada del 1er término resulta en 21x al cuadrado, la derivada del 2do término es -2x y la derivada de la constante, 10 en este caso, es 0 ahora en una forma más rápida vamos a diferenciar usando una representación matemática diferente, llamada la multiplicación de matrices; tomo la versión codificada de mi polinomio que la tenemos de antes y es 10, 0, -1, 7 y quiero diferenciarla, la multiplico por mi matriz diferencial básicamente, 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3, vamos a realizar una multiplicación de matrices, voy a realizar una secuencia de productos escalares, entonces el renglón 1 multiplicado con esta columna que está acá, bueno todo se va, entonces me queda un 0, el renglón 2 multiplicado por la columna, resulta en -2 y el renglón 3 multiplicado por esta columna resulta en 7 x 3 que es 21, y seguramente obtengo un resultado consistente, en otras palabras obtengo los coeficientes en una versión codificada, si les gusta, de la derivada del polinomio original, este es un lindo ejemplo de como podemos en una instancia más representar, en este caso una transformación lineal, una diferenciación que viene del cálculo a través de matrices