hola esta es la sección 3-C, en esta sección me gustaría explicar en forma
breve los nexos entre las matrices y las derivadas en cálculo, podemos llamarlas
como el operador diferencial; hemos visto en la sección previa que puedo usar las
matrices para representar muchos procesos y fenómenos diversos y diferentes
veamos como las matrices pueden en verdad representar diferenciaciones, tal como las
conocemos en cálculo; por ejemplo veamos una función polinomial; quiero tomar la
derivada con respecto a X; digamos la función X^2 + X, vamos a usar algunos
elementos del cálculo acá, el paralelogismo y la linealidad de la
derivada y esencialmente llegamos a tener 2x + 1 y así sucesivamente; quiero
mostrarles entonces como una acción, una transformación real propiamente, cómo ésta
puede ser, otra vez, encapsulada por una matriz
si recordamos cuando vimos las transformaciones geométricas con respecto
a la mutliplicación de matrices; el objetivo era encontrar esa matriz especial
que se llama la matriz estándar de las transformaciones, créanlo o no, la
derivada es en sí misma una transformación lineal, tiene propiedades lineales que
acabo de mencionar
para encontrar esa matriz lo que necesitamos hacer, digamos con respecto a
los polinomios es mirar a las derivadas de un conjunto estándar, que se denomina el
conjunto de base estándar, otra vez de las funciones de los polinomios; entonces por
ejemplo, cómo puedo considerar a la derivada de una constante? llamémoslo así
cual es la derivada, si sabemos cálculo, de la constante? es 0
la derivada de x con respecto a x es por supuesto es 1
la derivada, por el otro lado, de un cuadrado con respecto a x es 2x y la
derivada de un cubo con respecto a x es 3x al cuadrado, estoy usando algo que se
llama la regla de la potencia en cálculo diferencial
ahora quiero traducir estos resultados al mundo de los vectores y las matrices, si
recuerdan de algunas secciones atrás hemos hablado de como codificar información, el
contenido de información de los objetos matemáticos como los polinomios, en este
caso, en la forma de un vector; si recuerdan podemos considerar en el espacio
vectorial como lo definimos anteriormente P3 este es el conjunto de todas
las funciones polinomiales con grado menor o igual que 3; lo que quiero hacer es
armar esta matriz, que será conocida como la matriz estándar para el operador
diferencial, primero hay que convertir cada una de estas funciones de base en el
equivalente de la representación vectorial por ejemplo, puedo escribir esta constante
en términos de la función cúbica, tengo 0 que es el lugar donde pondré el término
cúbico, 0 y el lugar donde pondré el término cuadrático y en forma similar el
lugar para el coeficiente del término lineal y la constante C; puedo escribir
esto, la función constante en el mundo o el espacio vectorial, si prefieren, de P3
en una forma codificada, en otras palabras voy a poner los números, llamo a la
constante C, entonces C y luego los coeficientes ordenados en el mismo orden
tal como la forma codificada, esto va a ser un elemento de P3, pero ahora escrito
en forma expuesta como un vector de 4 dimensiones, por decir como un elemento de
R4; ahora me gustaría hacer la misma codificación para cada uno de estas
funciones y desde allí armar, otra vez, la matriz estándar para la transformación que
representa la diferenciación
vamos adelante y trabajemos con la forma codificada, la forma vectorial de las
derivadas de las que llamamos las funciones de base para el espacio
vectorial P3 otra vez, el conjunto de todas las funciones de todos los
polinomios de grado 3 o menos y por ejemplo y para darle sentido a todo esto
recordarán que cuando tomábamos la derivada del cálculo de una función cúbica
la derivada en forma inherente hace lineal la función, en otras palabras baja un
grado al polinomio, si tomo la derivada de una función cúbica o de menor grado, va a
mapear en una función cuadrática o en un polinomio de menor grado
acá tengo a la izquierda las derivadas de cada una de estas funciones de base, si
tomo la derivada de una función constante obtengo todos ceros con respecto a x,
cuando lo hago es, otra vez, voy a tomar la derivada de un vector de 4
dimensiones, codificado como un polinomio y vamos a mapearlo en un vector de 3
dimensiones, pierdo 1 dimensión a través de este proceso de diferenciación
si seguimos bajando en la lista y la derivada acá está codificada, digamos la
función x cuya derivada es 1, 1 es ese coeficiente es puesto en este espacio para
las constantes, que es este de arriba, tengo el coeficiente constante que
estuvimos codificando, el coeficiente lineal y el coeficiente cuadrático, cuando
calculo la derivada de la cúbica o de grado menor y la mapeo sobre una función
cuadrática, en forma similar si tomo la derivada de la función X al cuadrado,
bueno X al cuadrado, la derivada de X al cuadrado es 2X, por lo tanto pongo el
coeficiente 2 en el espacio lineal, en forma similar cuando tomo la derivada de X
al cubo, la derivada de X al cubo es, por supuesto 3X al cuadrado, coloco el
coeficiente 3 en el espacio de la X al cuadrado
ahora mencionamos un teorema del álgebra lineal en la sección 3B, si quiero
matrices estándar para representar, en este caso el operador diferencial, voy a
buscar las acciones de los vectores base y esas imágenes las coloco como vectores en
ese orden en particular, como vectores de columnas en forma específica para formar
mi matriz estándar de esa transformación acá está mi matriz diferencial, así la
llamo
quiero mostrarles ahora como una analogía de la sección previa, puedo realizar la
acción o la operación de la diferenciación en un polinomio, digamos cúbico o de grado
menor (la función) vía una multiplicación de matrices, en forma específica por la
matriz de diferenciación como la escribimos a la izquierda
veamos esta acción de la diferenciación a través de la multiplicación de matrices en
forma más directa con un ejemplo, entonces acá tenemos nuestra matriz diferencial, el
operador, la matriz estándar de la diferenciación, otra vez esta es una
matriz, noten que no es cuadrada, eso representa el hecho de que, otra vez, lo
que vamos a hacer es reducir nuestro mapeo o la multiplicación por dimensiones, voy a
comenzar con el vector de 4 dimensiones y a través de la reducción por la
multiplicación va a bajar a un vector de 3 dimensiones, debido a que en forma
inherente tomar la derivada permite hacerla lineal, perdemos un grado del
polinomio en el proceso
consideremos la función, digamos la función cúbica otra vez, hice una acá, 7x
al cubo - x al cuadrado + 10, puedo codificar esa función en la forma
vectorial, donde en particular escribo los coeficientes en orden de potencias
crecientes, arranco con mi coeficiente constante, el coeficiente lineal que es 0
tengo que ponerlo en ese lugar, el coeficiente cuadrático, 1 negativo y 7
para el coeficiente cúbico
simplemente usando las reglas de la diferenciación del cálculo, tomo la
derivada de 7x al cubo - x al cuadrado + 10 otra vez, es un operador lineal, tomo
la derivada de cada término en forma separada y aplico la regla de la potencia
del cálculo, la derivada del 1er término resulta en 21x al cuadrado, la derivada
del 2do término es -2x y la derivada de la constante, 10 en este caso, es 0
ahora en una forma más rápida vamos a diferenciar usando una representación
matemática diferente, llamada la multiplicación de matrices; tomo la
versión codificada de mi polinomio que la tenemos de antes y es 10, 0, -1, 7 y
quiero diferenciarla, la multiplico por mi matriz diferencial básicamente, 0 1 0 0 0
0 2 0 0 0 0 3, vamos a realizar una multiplicación de matrices, voy a realizar
una secuencia de productos escalares, entonces el renglón 1 multiplicado con
esta columna que está acá, bueno todo se va, entonces me queda un 0, el renglón 2
multiplicado por la columna, resulta en -2 y el renglón 3 multiplicado por esta
columna resulta en 7 x 3 que es 21, y seguramente obtengo un resultado
consistente, en otras palabras obtengo los coeficientes en una versión codificada, si
les gusta, de la derivada del polinomio original, este es un lindo ejemplo de como
podemos en una instancia más representar, en este caso una transformación lineal,
una diferenciación que viene del cálculo a través de matrices