acá tenemos nuestra matriz estándar que
representa la transformación lineal de la

rotación mediante un ángulo Theta, nos
podemos preguntar cómo son otras

transformaciones geométricas usuales, como
las reflexiones; lo que quiero decir con

reflexiones es que si tomamos un vector en
el plano o en 3D y lo reflejamos digamos

en el eje X o en el eje Y, podemos en 
forma consecuente preguntar, cuál es la

matriz A que encapsula esa acción en un
sentido geométrico; exploremos eso ahora

vamos a usar el teorema del álgebra lineal
que es muy útil, para poder encontrar la

matriz estándar de la transformación, en
este caso la reflexión; vamos a ver las

imágenes de esa transformación con 
respecto a los vectores 1 0 0 1, en otras

palabras los vectores estándares de base;
acá dibujé estas acciones para 2 tipos de

reflexiones diferentes, a la izquierda
tenemos la reflexión del eje X y a la

derecha tenemos el eje Y; tengo 2 subcasos
para poder ver la imagen de 1 0 0 1, bajo

esta acción novedosa, la reflexión 
geométrica; entonces para poder hacer la

reflexión sobre el eje de las X, voy a
comenzar con el vector 1 0, por ejemplo,

bueno si lo reflejo sobre el eje X, esto
lleva al vector, como se indica en el

cambio, entonces mi imagen de ese vector
es aún 1 0; por el otro lado si tomo el

vector 0 1 y lo reflejo sobre el eje X, se
refleja hacia abajo acá, termino con el

vector 0 -1; entonces mi matriz, otra vez
que encapsula estos reflejos geométricos

sobre los ejes es como sigue; tengo esta
imagen acá escrita como un vector de

columna del vector 1 0 y la imagen escrita
otra vez como vector de columna del vector

0 1; en forma similar para el eje Y es la
misma historia, si tomo el vector 1 0

reflejado sobre el eje de las Y, termino
con un vector de resultado -1 0 y por el

otro lado si tomo el vector 0 1 y lo
reflejo sobre el eje de las Y, permanece

sin cambios, en forma consecuente puedo
armar mi matriz estándar para esa

transformación lineal; la reflexión sobre
el eje de las Y como sigue: tomo las

imágenes y las introduzco en forma 
respectiva como vectores de columnas para

A; acá tenemos las matrices estándar para
estas transformaciones lineales con

respecto a las reflexiones para los ejes X
e Y

Para terminar esta sección les voy a 
mostrar la combinación de a donde podemos

ir con la idea de considerar a las 
matrices como transformaciones geométricas

que representan transformaciones, podemos
tomar una secuencia de transformaciones

geométricas, lo vamos a explicar con un
ejemplo en un momento y podemos en forma

compacta representar esa secuencia de
transformaciones geométricas con una sola

matriz; por ejemplo si tengo un vector en
R2 y lo quiero rotar y reflejar, una

rotación diferente y así sucesivamente,
puedo simplemente tomar la matriz que lo

representa para esas 2 transformaciones,
multiplicarlas en forma conjunta y

terminar con una sola matriz, que, otra
vez, representa en forma compacta esa

secuencia de transformaciones geométricas,
veamos como funciona con un ejemplo, les

recuerdo que en el pizarrón, que nuestras
matrices estándar para las

transformaciones geométricas que ya vimos
son las que se ven acá; rotación,

reflexión por el eje de las X y reflexión
por el eje de las Y; en forma específica

cuando insertamos con el ángulo de 90º
podemos ver otra véz un ejemplo simple

llegamos a esta matriz que está a la 
derecha

vamos a considerar que significa tratar de
imponer una secuencia de transformaciones

geométricas y el orden de esta secuencia
importa; vamos a mirar los 3 tipos que

tenemos acá de transformaciones
geométricas, me gustaría comenzar la

secuencia, digamos,

dado un vector en R2, lo primero que
haremos es reflejar por el eje de las X

luego vamos a rotar 90º y por último
reflejaremos ese vector por el eje de las

Y; lo que vamos a hacer es tomar estas 
matrices representativas para estas

transformaciones y multiplicarlas en forma
conjunta y con ello armar una nueva matriz

que en forma compacta pueda representar
esa secuencia de transformaciones

lo vamos a hacer con las matrices estándar
respectivas, con estas transformaciones

lineales, multiplicarlas en forma conjunta
en un orden particular y la matriz

resultante será la matriz que representa
esa secuencia de las transformaciones

geométricas; la multiplicación se tiene 
que hacer de derecha a izquierda, si se

preguntan por qué? es algo análogo a, si
están familiarizados con funciones y con

la composición de funciones, la 
composición de funciones es una operación

que va de derecha a izquierda; estas
reflexiones, rotacionesy transformaciones

son parte de la composición de funciones,
lo pueden pensar así en términos de

multiplicación de matrices; al multiplicar
las matrices de derecha a izquierda por

esa razón, en otras palabras, mi 1ra 
acción con la matriz de la derecha, tengo

la reflexión sobre el eje de las X, luego
tengo la matriz de rotación, luego la

matriz de la reflexión sobre el eje de las
Y; vamos a multiplicar todas estas

matrices en forma conjunta, ustedes pueden
verficar como llegamos a esta matriz final

vamos a verificar esta idea que la 
multiplicación por esta matriz final nos

instancia la secuencia previa de 
transformaciones lineales o

transformaciones geométricas; para empezar
vamos a hacer que esto sea intuitivo,

vamos a comenzar con un vector simple en
el plano, ok? dibujo el vector original en

verde como siempre, empecemos con el 
vector, digamos 0 1, empezamos con la

reflexión sobre el eje de las X, voy a
reflejar sobre el eje de las X luego del

paso 1 en la secuencia que quiero aquí y
voy a rotar en un sentido antihorario 90º

lo pongo acá sobre el eje de las X, es el
paso 2 y por último voy a hacer una

reflexión sobre el eje de las Y en el paso
3 obtengo mi resultado final y pongo el

vector -1 0; esto debería estar en 
concordancia, nuestra intuición geométrica

con esta idea de multiplicar el producto,
en otras palabras esta matriz, el producto

de todas estas matrices estándar para 
estas transformaciones por este vector

inicial, el vector inicial en el dibujo 
fue 0 1, veamos si esto concuerda,

esperemos que sí, cuando hago el producto
escalar, obtengo 0 -1 multiplicado acá es

-1, 1 0 multiplicado con este vector es 0
y es suficiente, como ya vimos, que la

multiplicación, en otras palabras la 
acción de multiplicar cualquier vector en

el plano, en particular 0 1, por esta 
matriz es equivalente a realizar esta

secuencia de transformaciones geométricas