acá tenemos nuestra matriz estándar que representa la transformación lineal de la
rotación mediante un ángulo Theta, nos podemos preguntar cómo son otras
transformaciones geométricas usuales, como las reflexiones; lo que quiero decir con
reflexiones es que si tomamos un vector en el plano o en 3D y lo reflejamos digamos
en el eje X o en el eje Y, podemos en forma consecuente preguntar, cuál es la
matriz A que encapsula esa acción en un sentido geométrico; exploremos eso ahora
vamos a usar el teorema del álgebra lineal que es muy útil, para poder encontrar la
matriz estándar de la transformación, en este caso la reflexión; vamos a ver las
imágenes de esa transformación con respecto a los vectores 1 0 0 1, en otras
palabras los vectores estándares de base; acá dibujé estas acciones para 2 tipos de
reflexiones diferentes, a la izquierda tenemos la reflexión del eje X y a la
derecha tenemos el eje Y; tengo 2 subcasos para poder ver la imagen de 1 0 0 1, bajo
esta acción novedosa, la reflexión geométrica; entonces para poder hacer la
reflexión sobre el eje de las X, voy a comenzar con el vector 1 0, por ejemplo,
bueno si lo reflejo sobre el eje X, esto lleva al vector, como se indica en el
cambio, entonces mi imagen de ese vector es aún 1 0; por el otro lado si tomo el
vector 0 1 y lo reflejo sobre el eje X, se refleja hacia abajo acá, termino con el
vector 0 -1; entonces mi matriz, otra vez que encapsula estos reflejos geométricos
sobre los ejes es como sigue; tengo esta imagen acá escrita como un vector de
columna del vector 1 0 y la imagen escrita otra vez como vector de columna del vector
0 1; en forma similar para el eje Y es la misma historia, si tomo el vector 1 0
reflejado sobre el eje de las Y, termino con un vector de resultado -1 0 y por el
otro lado si tomo el vector 0 1 y lo reflejo sobre el eje de las Y, permanece
sin cambios, en forma consecuente puedo armar mi matriz estándar para esa
transformación lineal; la reflexión sobre el eje de las Y como sigue: tomo las
imágenes y las introduzco en forma respectiva como vectores de columnas para
A; acá tenemos las matrices estándar para estas transformaciones lineales con
respecto a las reflexiones para los ejes X e Y
Para terminar esta sección les voy a mostrar la combinación de a donde podemos
ir con la idea de considerar a las matrices como transformaciones geométricas
que representan transformaciones, podemos tomar una secuencia de transformaciones
geométricas, lo vamos a explicar con un ejemplo en un momento y podemos en forma
compacta representar esa secuencia de transformaciones geométricas con una sola
matriz; por ejemplo si tengo un vector en R2 y lo quiero rotar y reflejar, una
rotación diferente y así sucesivamente, puedo simplemente tomar la matriz que lo
representa para esas 2 transformaciones, multiplicarlas en forma conjunta y
terminar con una sola matriz, que, otra vez, representa en forma compacta esa
secuencia de transformaciones geométricas, veamos como funciona con un ejemplo, les
recuerdo que en el pizarrón, que nuestras matrices estándar para las
transformaciones geométricas que ya vimos son las que se ven acá; rotación,
reflexión por el eje de las X y reflexión por el eje de las Y; en forma específica
cuando insertamos con el ángulo de 90º podemos ver otra véz un ejemplo simple
llegamos a esta matriz que está a la derecha
vamos a considerar que significa tratar de imponer una secuencia de transformaciones
geométricas y el orden de esta secuencia importa; vamos a mirar los 3 tipos que
tenemos acá de transformaciones geométricas, me gustaría comenzar la
secuencia, digamos,
dado un vector en R2, lo primero que haremos es reflejar por el eje de las X
luego vamos a rotar 90º y por último reflejaremos ese vector por el eje de las
Y; lo que vamos a hacer es tomar estas matrices representativas para estas
transformaciones y multiplicarlas en forma conjunta y con ello armar una nueva matriz
que en forma compacta pueda representar esa secuencia de transformaciones
lo vamos a hacer con las matrices estándar respectivas, con estas transformaciones
lineales, multiplicarlas en forma conjunta en un orden particular y la matriz
resultante será la matriz que representa esa secuencia de las transformaciones
geométricas; la multiplicación se tiene que hacer de derecha a izquierda, si se
preguntan por qué? es algo análogo a, si están familiarizados con funciones y con
la composición de funciones, la composición de funciones es una operación
que va de derecha a izquierda; estas reflexiones, rotacionesy transformaciones
son parte de la composición de funciones, lo pueden pensar así en términos de
multiplicación de matrices; al multiplicar las matrices de derecha a izquierda por
esa razón, en otras palabras, mi 1ra acción con la matriz de la derecha, tengo
la reflexión sobre el eje de las X, luego tengo la matriz de rotación, luego la
matriz de la reflexión sobre el eje de las Y; vamos a multiplicar todas estas
matrices en forma conjunta, ustedes pueden verficar como llegamos a esta matriz final
vamos a verificar esta idea que la multiplicación por esta matriz final nos
instancia la secuencia previa de transformaciones lineales o
transformaciones geométricas; para empezar vamos a hacer que esto sea intuitivo,
vamos a comenzar con un vector simple en el plano, ok? dibujo el vector original en
verde como siempre, empecemos con el vector, digamos 0 1, empezamos con la
reflexión sobre el eje de las X, voy a reflejar sobre el eje de las X luego del
paso 1 en la secuencia que quiero aquí y voy a rotar en un sentido antihorario 90º
lo pongo acá sobre el eje de las X, es el paso 2 y por último voy a hacer una
reflexión sobre el eje de las Y en el paso 3 obtengo mi resultado final y pongo el
vector -1 0; esto debería estar en concordancia, nuestra intuición geométrica
con esta idea de multiplicar el producto, en otras palabras esta matriz, el producto
de todas estas matrices estándar para estas transformaciones por este vector
inicial, el vector inicial en el dibujo fue 0 1, veamos si esto concuerda,
esperemos que sí, cuando hago el producto escalar, obtengo 0 -1 multiplicado acá es
-1, 1 0 multiplicado con este vector es 0 y es suficiente, como ya vimos, que la
multiplicación, en otras palabras la acción de multiplicar cualquier vector en
el plano, en particular 0 1, por esta matriz es equivalente a realizar esta
secuencia de transformaciones geométricas