Hola esta es la sección 3 y en esta sección voy a hablar sobre las conexiones
entre las matrices y algo que se llama transformaciones geométricas, vamos a
pensar las cosas desde una perspectiva nueva y vamos a volver a la multiplicación
de matrices; entonces tenemos una matriz A y la multiplicamos por algún vector que
llamamos x con la matriz de la izquierda y en vez de pensar puramente en términos
algebraicos, queremos considerar esta multiplicación como una transformación del
vector x, obtenemos un vector nuevo, de esta forma, multiplicando; y en esta
sección en particular me voy focalizar en esta multiplicación en un sentido,
realizando una transformación geométrica tal que la rotación del vector o alguna
forma de escala o de intercambio del vector en el plano
me gustaría encontrar esta matriz A, a través de la multiplicación y como se
realiza una transformación en acción; y para hacer eso, tengo que especificar que
tipo de transformación lineal estamos considerando, voy a ver varios casos
diferentes; el 1er caso me gustaría considerar una rotación, específicamente
quiero decir por el ángulo Theta, orientado en sentido anti reloj
lo que quiero decir en particular, si tenemos un vector en R2
vamos a llamarlo v y quiero hacer una multiplicación de matrices y realizar la
acción de rotar ese vector en un ángulo Theta en un sentido antihorario
aca está el ángulo Theta, aquí está mi nuevo vector y quiero describir ese nuevo
vector por la multiplicación con esta matriz A a la izquierda; la pregunta es,
cuál es esa matriz A? dicho sea de paso, esa matriz A es llamada la matriz estándar
de las transformaciones lineales, en otras palabras, nuestra tarea consiste en hallar
la matriz A, dicho sea de paso va a ser una matriz de 2 x 2 que se denomina matriz
estándar de la transformación lineal, en forma específica esta transformación es la
rotación geométrica; resulta que en álgebra lineal hay un teorema muy conocido
que relaciona la pregunta de cómo hallar la matriz estándar de la transformación
lineal; lo que ese teorema nos dice es que básicamente para encontrar esa matriz A
tenemos que mirar que transformación lineal, en este caso una rotación, hace lo
que se llama una base de vectores estándar en otras palabras, cuál es la rotación
dada por el ángulo Theta en un sentido antihorario al vector unidad en la
dirección del eje positivo de las X y en forma similar el vector unidad en la
dirección del eje positivo de las Y
vamos adelante y encontremos la matriz de esta transformación lineal, descripta como
una rotación basada en el ángulo Theta en un sentido antihorario; como ya dije hay
un teorema del álgebra lineal que nos dice que es suficiente para poder encontrar esa
matriz, buscar en lo que se llama las imágenes de un factor de base estándar, en
otras palabras la imagen de 1 0 y 0 1 bajo esta acción de rotar; tenemos 2 casos que
vamos a implementar a lo largo del camino comienzo con el vector 1 0 dibujado en
verde, si lo roto en sentido antihorario por el ángulo Theta, veo que el ángulo
Theta es pequeño, sólo para hacer el dibujo razonable, pero este resultado se
puede extender a cualquier medida de un ángulo, dicho sea de paso; y ahora quiero
ver qué significa este vector imagen, este nuevo vector rotado y quiero describir sus
componentes, para ello voy a usar el componente X, como lo pueden ver en este
triángulo rectángulo es el coseno de Theta y el componente Y es el seno de Theta, esa
es mi nueva imagen del vector, luego de la rotación en términos de los parámetros de
Theta; por el otro lado si veo la imagen del vector estándar de base 0 1, también
dibujado en verde, si lo roto, otra vez, en sentido antihorario mediante un ángulo
Theta, aquí tengo mi nueva imagen del vector en rojo a la izquierda, quiero
encontrar los componentes X e Y de esa nueva imagen del vector, usando algunos
trucos, en el 2do cuadrante ahora, mi componente X es el seno negativo que
escribí acá y el componente Y es el coseno de Theta, en forma conjunta tenemos estas
imágenes producto de la acción de rotar, sobre la base de estos vectores estándar,
ahora formo la matriz A, simplemente inserto estos vectores ahí, que representa
las columnas de los vectores en A, vamos a hacer eso ahora
ahora ya tenemos nuestra matriz A que representa esta acción de rotar en R2
en otras palabras, escribí en la columna de vectores de A las imágenes en el orden
de los vectores de base estándar, tenemos coseno, seno, seno negativo, coseno; el
ángulo Theta es de 90 grados, vamos a realizar una rotación de 90 grados, luego
cuál es la matriz A que le corresponde?, bueno simplemente voy a insertar
los componentes que tengo, entonces el coseno de Theta es ahora 90 grados, el
seno de 90 grados, ya ponemos los valores en un momento, seno negativo de 90 grados
y coseno de 90 grados
para esta matriz correspondiente, qué tenemos en términos de valores numéricos
bueno el coseno de 90 grados es 0, el seno de 90 grados es 1, seno negativo de
90 grados es -1 y el coseno de 90 grados es 0; esta matriz que está acá, cuando la
multiplico a la derecha por un vector en el plano, un vector de 2 dimensiones, la
acción que se realiza es una rotación de 90 grados
terminemos este ejemplo, si por ejemplo tomo esta matriz A otra vez que representa
una rotación de 90 grados en sentido antihorario debida a la multiplicación,
podemos comenzar con un vector, digamos 0 y -1, este será mi v, el punto acá es si
puedo representar geométricamente la rotación de cualquier vector en el plano
90 grados en sentido antihorario multiplicando ese vector por A como se ve
a la izquierda; vamos a hacerlo y sólo hacemos un chequeo doble, tiene sentido y
es intuitivo;
0 -1 multiplicado por 0 -1, resulta en 1, 1 0 multiplicado por 0 -1, resulta en 1 0
veamo si en verdad funciona; voy a empezar con el vector 0 -1, 0 -1 está en el plano
dibujado en rojo, acá está 0 -1, el componente X es 0, el componente Y es -1,
en forma intuitiva y geométrica, qué implica rotar este vector en 90 grados en
sentido antihorario? bueno deberíamos terminar en la dirección del eje X y
seguro si vemos ese es mi vector resultante
en resumen hemos encontrado, esta es nuestra matriz para cualquier rotación
para cualquier ángulo, pero en forma específica para este ejemplo, que es el
ángulo de 90 grados y cuando multiplico cualquier vector de 2 dimensiones por esta
matriz a la izquierda, la acción geométrica de esa mutliplicación es esta
rotación que vemos con este lindo ejemplo