vamos a tomarnos un momento al final de la sección para vincular a la diagonalización a una aplicación pertinente, algo que se denomina recursión y también la secuencia de Fibonacci; la recursión si no están familiarizados con ella es una idea que aparece en muchas líneas de las ciencias aplicadas, en particular en biología y en ciencias de la computación y como su nombre lo indica el núcleo de la recursión incluye un patrón recurrente; en otras palabras podemos describir un patrón que es a la vez autoreferencial y que recapitula a lo largo del tiempo en cada subsecuente iteración Comencemos con un ejemplo trivial de recursión que me gustaría que vieran para introducir algo de notación matemática; por ejemplo puedo definir una secuencia recursiva de números definiendo el elemento n en esa secuencia y simplemente decir que el elemento n es igual a 1 + an- 1, en otras palabras 1 + el elemento previo; ahora les tengo que decir donde comienza esta secuencia o patrón de números; voy a asignar el punto inicial digamos a0 es igual a 1; ok definí la secuencia recursiva y trivial del 1, que comienza en 1 y en donde cada número subsecuente en ese patrón o en esa secuencia es igual a 1 + el valor anterior hagamos una recursión, vamos adelante y veamos qué sucede con la secuencia; ok empezamos con 1, entonces a1 es por la definición de esta secuencia recursiva es 1 + un nudo, 1 + el valor previo, entonces acá es 1 + 1 o 2 y luego me muevo a a2, qué es a2, a2 es igual a 1 + 2 - 1 es 1, 1 + el valor previo de la secuencia, 2 + 1 es 3 y como pueden ver, lo que estamos haciendo con este ejemplo simple de recursión es contar, contar es en escencia un proceso recursivo en otras palabras avancemos hacia algunos ejemplos más interesantes; bueno uno de los ejemplos mejor conocidos en la historia de las matemáticas es algo que se denomina la secuencia de Fibonacci; la secuencia de Fibonacci es definida de la siguiente forma: para determinar el elemento n en una secuencia de números, en la secuencia de Fibonacci, tomo la suma de los 2 elementos previos en la secuencia, esto define la secuencia y otra vez, tengo que decirles que vamos a empezar con a1y a2, ambos con el valor de 1; avancemos e iteremos la secuencia; comenzamos con 1 1 ahora el 3er elemento en la secuencia es la suma de a2 + a1, la suma de los 2 valores previos, 1 + 1 es 2, creo que éste a3, el 3er término en la secuencia, luego para definir el 4to elemento en la secuencia vuelvo a recurrir, me refiero a la suma de los 2 valores previos, 1 + 2 es 3, este será el 4to término, 2 + 3 es 5 que es el término que sigue, 3 + 5 es 8 que es el siguiente, 8 + 5 es 13 y 13 + 8 es 21 y así sucesivamente; acá tenemos la famosa secuencia de Fibonacci definida en forma recursiva; en el siglo 13 Fibonacci construyó la secuencia en un esfuerzo por intentar explicar un proceso dinámico, en particular el proceso dinámico del crecimiento de una población de conejos basados en este modelo matemático primitivo, si se quiere, es tosco en su diseño, pero ese no es el punto, el punto es que sin embargo lo podemos usar para modelar fenómenos reales del mundo, otra vez y por ejemplo podemos pensar ahora que cuando Fibonacci definió las reglas y las restricciones para su modelo en términos de la forma en que determinamos el crecimiento de una población de conejos, él asumió que si uno cree, tal vez en hadas, pero otra vez, para hacer las matemáticas simples, con cada número estamos representando la población de conejos que comienzan en 1 y luego 2 y así sucesivamente; él asumió que cada mes, un conejo adulto daba vida a un conejo bebé, hay una correspondencia de 1 a 1 en el crecimiento, pero aquí los conejos nunca mueren y cuando un conejo nace le toma exactamente 1 mes, digamos que para alcanzar la madurez completa y así poder tener nuevas crías; si pensamos en la generación 1 y en alguna razón "milagrosa" para el nacimiento, empezamos nuestra población de conejos con 1 conejo, 1 conejo solitario, ese conejo alcanza la madurez da vida y en este momento del tiempo tenemos 2 conejos; entonces en la siguiente generación ese conejo adulto da vida nuevamente y suma 1 nuevo conejo y aún tenemos al bebé conejo anterior que ahora alcanza la madurez para el momento de este item y así sucesivamente como pueden imaginar con la secuencia de Fibonacci tenemos un crecimiento muy rápido de números ahora me gustaría mostrarles como podemos tomar este modelo matemático "crudo" y representar en otros casos distintos usando matrices; esta es una abstracción muy poderosa e importante que puede representar cualquier cosa y la vamos a conectar más tarde con algo que se llama Cadenas de Markov o Proceso de Markov en la sección siguiente, dicho sea de paso la idea básica es ésta: quiero encarnar en una forma abstracta este proceso dinámico usando multiplicación de matrices por ejemplo si tengo una matriz llamada A de la que voy a dar sus detalles en 1 momento, supongamos que es de 2 x 2 cuando multiplico un vector x que representa la población actual de los conejos al tiempo t, esa mutliplicación en algún sentido reproduce inherentemente esta conducta dinámica descrita por la ecuación recursiva que está arriba; en otras palabras cuando multiplico por la matriz especial A, el estado actual de la población de conejos, obtengo el siguiente resultado en la secuencia, en otras palabras obtengo la población en la generación t + 1; es importante que notemos este motivo, esta idea que vamos a mostrar en gran detalle, en algo que se llama cadenas de Markov o proceso de Markov, esto sale de este punto de partida que tenemos acá, por ahora simplemente quiero que discutamos cómo debería ser la matriz A y describir cómo puedo a través de la diagonalización explícitamente resolver la secuencia recursiva de Fibonacci; lo que quiero decir con eso es que quiero tener una ecuación explícita, así no tengo que repetir todos los elementos de la secuencia, para poder tener la población en la generación 100, generación 1000, puedo explícitamente formularla a través de la diagonalización para poder resolverlo lo que podemos hacer es comenzar con pares de los términos básicos de la secuencia de Fibonacci, las escribo como vectores de 2 dimensiones y multiplico esos vectores de 2 dimensiones por la matriz que tengo a la izquierda, noten que la matriz de 2 x 2, con el renglón 1 1 1 0 respectivamente, realizo esa mutliplicación, recuerden que la multiplicación de matrices es un producto escalar, luego tengo la matriz resultante que tiene en el renglón de arriba an-1 an-2 y eso me define el término n de la secuencia de Fibonacci por supuesto y en el componente de abajo acá tenemos an-1; en otras palabras cuando tomo A un elemento de la secuencia de Fibonacci y lo multiplico por la matriz de la izquierda, produzco el siguiente par de la secuencia de Fibonacci y ese es el elemento n de la secuencia y la entrada de abajo será el n-1 elemento de la secuencia como se ve aquí; entonces podemos decir en resumen que tenemos una mutliplicación de matrices que codifica la repeteción de la secuencia de Fibonacci, podemos verlo en forma más concreta con números, voy a tomar el 1er par de los términos, que es 1 1 de la secuencia de Fibonacci, que expresa un vector de 2 dimensiones y lo multiplica a la izquierda por la matriz A realiza el producto escalar y obtenemos, de hecho, el vector 2 1, que representa respectivamente el 3ro y el 2do término de la secuencia de Fibonacci; el núcleo de la secuencia de Fibonacci es la repetición en forma similar puedo continuar multiplicando en forma secuencial por la matriz A y voy a obtener el siguiente par de elementos en la secuencia de Fibonacci de la siguiente forma; luego tomo el vector 2 1 y lo multiplico otra vez por la matriz A, que produce el siguiente término en la secuencia de Fibonacci, de acuerdo con el vector 3 2, que representa el 4to y el 3er elemento de la secuencia de Fibonacci y puedo continuar multiplicando la secuencia de vectores por la matriz A y así reproducir la secuencia de Fibonacci entera ok a partir de lo visto, puedo usar mi modelo matemático crudo para pronosticar en otras palabras hacer una predicción acerca del valor que sigue, en otras palabras, cuál es la medida de la población de conejos luego de k generaciones, para poder hacer eso, lo que tengo que hacer es, adivinen qué, elevar mi matriz A a la potencia k multiplicando por la población inicial, puedo en forma eficiente, y sé como hacerlo, usar la diagonalización, puedo en forma eficiente factorizar y diagonalizar mi matriz A, puedo hacer esos cálculos en forma relativamente sencilla, hagamos eso ahora ok, vamos a diagonalizar esa matriz A, sólo para recordar que el proceso de diagonalizar es un procedimiento de muchos pasos, que comienza hayando los eigenvalores de A y luego en forma subsecuente los eigenvectores y ajustando estas cantidades en la factorización PDP Inversa, los eigenvalores de la matriz A son los siguientes 1+ raíz cuadrada de 5 sobre 2 y 1 - raíz cuadrada de 5 sobre 2, dicho sea de paso, si reconocen el número 1 + raíz cuadrada de 5 sobre 2, sabrán que es mejor conocido como la "razon dorada", es un número interesante de hecho, tiene algunas raíces en las matemáticas clásicas y en teoría estética ok una vez que tengo estos eigenvalores, los coloco en los lugares apropiados en la matriz D y en forma subsecuente la matriz P usa los eigenvectores pero manteniendo el mismo orden en las columnas y a la derecha escribo simplemente P Inversa en forma simbólica debido a que este número es un poco complicado, pero resulta que en esta factorización sí funciona entonces la utilidad de esta factorización particular y diagonalización de la matriz A, una vez más, me permite calcular en forma eficiente potencias muy altas de esa matriz, que en el contexto de nuestro modelo matemático me permite hacer predicciones sobre la población de conejos luego de K generaciones; recueden que el 1er componente representa la población adulta luego de varias generaciones, acá vemos como se puede resolver y como podemos encontrar este resultado algebraico aquí, que, otra vez, representa el número de adultos luego de, digamos, t meses; esta ecuación se ve rara, pero créanme que cuando le inserto los valores para t, el resultado es un entero; sólo para probar el modelo, voy a hacer alguna predicción luego de 10 generaciones, cuántos conejos adultos obtendré si inserto el número 10 en mi fórmula y seguro obtendré el número 89, que es el correcto