apliquemos esta idea de usar la 
diagonalización de una matriz para

calcular en forma eficiente potencias muy
grandes para una matriz, vamos a volver a

nuestro ejemplo previo, donde A tiene esos
valores y calculamos la diagonalización de

A escrita de esa forma; calculamos por
ejemplo, A elevado a la 10, ok, otra vez

para calcular muchas muchas secuencias de
productos escalares, así calculamos esto,

podemos en forma más eficiente escribir
esto de la siguiente manera, tenemos

nuestra matriz P 1 1 2 -1, una matriz de
eigenvectores, luego toma la matriz

diagonal elevada a la 10ma potencia, que
implica elevar cada componente a la 10, es

más eficiente, de hecho y por último 
tenemos que multiplicar por la inversa de

nuestra matriz original de eigenvectores
no es tan malo, vayamos hacia adelante y

hagamos esto en 2 pasos; voy a dejar mi
matriz P por un momento y si sigo adelante

y elevo cada uno de estos componentes a la
10ma potencia, dicho sea de paso es 1024 0

0 -1 elevada a una potencia par resulta
en 1, acá está una versión un poco más

simple de esa factorización y otra vez
muchos muchos menos pasos aritméticos hay

que realizar que elevar directamente A a 
la 10ma potencia acá, y sin embargo

simplemente multiplico estas 3 matrices de
2 x 2 en forma conjunta y ciertamente no

hacemos esa tarea dificultosa a mano y el
resultado nos da la siguiente matriz

cuando elevo A, otra vez, a una potencia 
muy grande, ahí es cuando en verdad vale

la pena esta idea de ahorrar muchos muchos
millones y aún billones de pasos

aritméticos, veamos eso ahora

en un caso más extremo si quiero calcular
A elevada a 10 elevada a la 6, en otras

palabras A a la potencia 1 millón, 
obviamente necesito hacer en forma directa

estos millones y millones de cálculos que 
incluyen el producto escalar para 1ro

diagonalizarla y luego seguir adelante y
elevar mi matriz diagonalizada a la

potencia apropiada y agregando eso a las
nuevas matrices P y P Inversa del otro

lado, hay un 1 elevado a una potencia par,
por lo que es 1 positivo, en verdad

necesito preguntar cuánto es 2 elevado a
la 10 y a la 6 o a la potencia 1 millón,

puedo calcular, puedo hacerlo sin 
demasiado problema y luego multiplico por

P y por P Inversa a la izquierda y a la
derecha, entonces hemos ahorrado muchos

muchos pasos en los cálculos, pasamos de
literalmente millones de cálculos

aritméticos a apenas un puñado en el lado
derecho y podemos en forma eficiente

calcular de ese modo matrices elevadas a
potencias muy grandes usando esta forma de

diagonalizar