apliquemos esta idea de usar la diagonalización de una matriz para
calcular en forma eficiente potencias muy grandes para una matriz, vamos a volver a
nuestro ejemplo previo, donde A tiene esos valores y calculamos la diagonalización de
A escrita de esa forma; calculamos por ejemplo, A elevado a la 10, ok, otra vez
para calcular muchas muchas secuencias de productos escalares, así calculamos esto,
podemos en forma más eficiente escribir esto de la siguiente manera, tenemos
nuestra matriz P 1 1 2 -1, una matriz de eigenvectores, luego toma la matriz
diagonal elevada a la 10ma potencia, que implica elevar cada componente a la 10, es
más eficiente, de hecho y por último tenemos que multiplicar por la inversa de
nuestra matriz original de eigenvectores no es tan malo, vayamos hacia adelante y
hagamos esto en 2 pasos; voy a dejar mi matriz P por un momento y si sigo adelante
y elevo cada uno de estos componentes a la 10ma potencia, dicho sea de paso es 1024 0
0 -1 elevada a una potencia par resulta en 1, acá está una versión un poco más
simple de esa factorización y otra vez muchos muchos menos pasos aritméticos hay
que realizar que elevar directamente A a la 10ma potencia acá, y sin embargo
simplemente multiplico estas 3 matrices de 2 x 2 en forma conjunta y ciertamente no
hacemos esa tarea dificultosa a mano y el resultado nos da la siguiente matriz
cuando elevo A, otra vez, a una potencia muy grande, ahí es cuando en verdad vale
la pena esta idea de ahorrar muchos muchos millones y aún billones de pasos
aritméticos, veamos eso ahora
en un caso más extremo si quiero calcular A elevada a 10 elevada a la 6, en otras
palabras A a la potencia 1 millón, obviamente necesito hacer en forma directa
estos millones y millones de cálculos que incluyen el producto escalar para 1ro
diagonalizarla y luego seguir adelante y elevar mi matriz diagonalizada a la
potencia apropiada y agregando eso a las nuevas matrices P y P Inversa del otro
lado, hay un 1 elevado a una potencia par, por lo que es 1 positivo, en verdad
necesito preguntar cuánto es 2 elevado a la 10 y a la 6 o a la potencia 1 millón,
puedo calcular, puedo hacerlo sin demasiado problema y luego multiplico por
P y por P Inversa a la izquierda y a la derecha, entonces hemos ahorrado muchos
muchos pasos en los cálculos, pasamos de literalmente millones de cálculos
aritméticos a apenas un puñado en el lado derecho y podemos en forma eficiente
calcular de ese modo matrices elevadas a potencias muy grandes usando esta forma de
diagonalizar